32. Модель м2 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы относительно общего среднего. Вывести статистику критерия.

При проверке гипотезы H₀: ϻ= ϻ₀ о значении генеральной средней используется статистика ,

имеющая F-распределение с числом степеней свободы числителя и знаменателя .

Если , то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки, равной Выводим статистику.

Здесь – случайные величины, удовлетворяющие условиям:

М( ) = 0

М( ₁* ₂) = 0 для ₁≠ ₂

М( *ɛ_ij) = 0 для любых i, j

М( ) =

ɛij – это случайные величины (остатки), отражающие влияние на Y всех неконтролируемых факторов, то есть вариацией переменной внутри отдельного уровня, удовлетворяющие следующим условиям:

• М(ɛ_ij) = 0

• М(ɛ_i1j2 ɛ_i2j2) = 0 для i1 ≠ i2 или j1 ≠ j2

• М(ɛ_ij²) =

Выведем Q_А через параметры модели (1) и (2):

Используем -> - несмещенные оценки одной и той же величины

В общем случае H₀: ϻ= ϻ₀ можно проверить в предположении, что , т.е. при отсутствии влияния фактора А или при

33. Двухфакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Особенности моделей м1, м2 и смешанных.

В двухфакторном дисперсионном анализе исследуется влияние двух факторов А и В, и их взаимодействие, на результативный признак Y .

Все имеющиеся данные, как правило, представляются в виде таблицы, в которой по строкам располагаются уровни А_i, i=1,2,…m фактора А, по столбцам – уровни B_j, j=1,2,…r фактора В, а в ячейке, соответствующей i –му уровню фактора А и j-му уровню фактора В, находятся n_ij значений y_ijk результативного признака Y , где k=1,2,…n_ij

, ,

Степени свободы:

Qa- m-1, Qb – r-1, Qab- mr-m-r+1, Qост- mrn-mr, Qобщ – mrn-1, Mrn-1=mrn-1

Степени свободы Qобщ=сумме степ. свободы, след по те-ме Кохрана qa, Qb, Qab и Qjcn – независимы м-д собой

В каждой клетке комплекса имеется по несколько наблюдений - постулируется наличие влияния взаимодействия факторов (АВ) на результативный признак .

Двухфакторная дисперсионная модель в этом случае имеет вид:

- наблюдаемое k-е значение результативного признака, полученного на i-м уровне фактора и j-м уровне фактора В;

- общая генеральная средняя комплекса,

ε_ijk – взаимно независимые, нормально распределенные случайные величины (остатки), отражающие влияние на всех неконтролируемых факторов, т.е. вариацией переменной внутри отдельной ячейки, удовлетворяющие следующим условиям:

- остаточная дисперсия.

- отклонения от , обусловленные влиянием i-го уровня фактора , j-го уровня фактора В, взаимодействием этих уровней АВ соответственно.

При этом для модели М1 (оба фактора имеют фиксированные уровни) - неслучайные величины, удовлетворяющие условиям:

, и, как следствие,

Для модели М2 (оба фактора имеет случайные уровни) - независимые между собой и с ε_ijk случайные величины, удовлетворяющие условиям:

Для смешанной модели (фактор имеет случайные уровни, а фактор В - фиксированные) - неслучайные величины, - независимые между собой и с ε_ijk случайные величины, удовлетворяющие условиям:

, причем .

Для смешанной модели (фактор В имеет случайные уровни, а фактор - фиксированные) - неслучайные величины, - независимые между собой и с ε_ijk случайные величины, удовлетворяющие условиям:

; , причем .

В двухфакторном дисперсионном анализе при n>1 формула разложения суммы квадратов отклонений имеет вид: , компоненты которого в случае одинакового числа наблюдений во всех ячейках, т.е. n_ij=n для всех i=1,2,…m; j=1,2,…r, определяются по формулам:

- общая сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений, обусловленная влиянием фактора ;

- сумма квадратов отклонений, обусловленная влиянием фактора В;

- сумма квадратов отклонений, обусловленная совместным влиянием факторов и В;

- остаточная сумма квадратов отклонений.

- средняя по ячейке, соответствующей i –му уровню фактора и j-му уровню фактора В;

- средняя по уровню фактора ;

- средняя по уровню фактора В;

- общая средняя.