16. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, полученные по выборке из нормальной генеральной совокупности.

Интервальной оценкой ген. сов. называют интервал , отснос. кот. близкой к доверительной вероятности можно утверждать, что параметр находится внутри данного интервала. h= - - ширина доверительного интервала.

Пусть из генер.совок Х N(μ;σ), взята выборка . Найдем с довер. вероят. интервалы для .

1)n ≤ 30 Согласно теореме 4, ( ). Находим по таблице 3

Так как табл. χ² распр-я Пирсона содержит вер-ти P(χ²> χ²_a,v )= α,можно записать:

= ,

( ; ), ( ; ) Решим неравенство относительно

χ² – СВ,имеющ-я χ² распр-е Пирсона с ν =n-1 степ.свободы.

n>30 Согласно свойству 2 СВ, имеющей -распр. N(0;1), тогда )=

а) дана довер. вероятность определить = => t, =-t, , , ,

б) Дано , найти _{. Подставим в выражение для T}

, 17. Интервальная оценка для вероятности р, полученная по выборке из генеральной совокупности, имеющей биномиальный закон распределения.

Интервальной оценкой ген. сов. называют интервал , отснос. кот. близкой к доверительной вероятности можно утверждать, что параметр находится внутри данного интервала. h= - - ширина доверительного интервала.

Пусть в n независимых испытаниях событие А наступило m раз. P-вероятность появления А в отдельных испытаниях.

Согласно теореме 9, => = _{, где} = Решая неравенство относительно р и допуская, что >p получаем

< =>(

n>100 тогда , и => P( = _{, где}

_{П ри малых n интервальную оценку для p находят из биноминального ЗР}

Границы довер.интерв.для ген.доли опред-ся на основе ур-ий:,которые решаются приближенно.

,

18. Оценка неизвестных законов распределения. Проверка гипотез о законе распределения генеральной совокупности. Критерий согласия Пирсона.(НЕПОЛНЫЙ)

КРИТЕРИЙ ПИРСОНА χ² – критерий проверки гипотезы о том, что изучаемая случайная величина подчиняется заданному закону распределения: H₀: F(x) = F₀(x).

Наблюдаемое значение статистики критерия рассчитывается на основе данных, представленных в виде вариационного ряда по формуле: ,

где m_i – частота i-го значения или интервала (число наблюдений выборки, равных i-му значению x_i, или попадающих в i-й интервал (a_i; b_i), i = 1, … , l;

p_i – вероятность принятия случайной величиной i-го значения или вероятность попадания в i-й интервал;

n – объем выборки n = Σ m_i.

Часто для расчетов вводят понятие "теоретической частоты" m_i^T = np_i, что позволяет преобразовать формулу наблюдаемого значения статистики критерия к виду: .

По теореме Пирсона при истинности гипотезы H₀ и n → ∞, распределение статистики χ²_набл сходится к χ²-распределению с ν = l – r – 1 степенями свободы, где r - число параметров предполагаемого теоретического зако­на, использованных для вычисления теоретических частот и оценива­емых по выборке. Для проверки нулевой гипотезы H₀ на уровне значимости α строят правостороннюю критическую область. Границу критической области χ²_кр находят по таблицам χ²-распределения из условия P(χ² > χ²_кр(α; l – r – 1)) = α.

Гипотеза отвергается на уровне значимости , если вычисленное значение χ²_набл окажется больше критического χ²_кр(α,ν), найденного по таблицам распределения χ² для уровня значимости  и числа степеней свободы ν = l – r - 1. В противном случае гипотеза не отвергается.