- •Понятие генеральной совокупности и выборки. Эмпирические аналоги параметров генеральной совокупности. Два взгляда на выборку. Вероятностные свойства выборочных характеристик.
- •Выборочные моменты. Вывести формулы, устанавливающие связь между центральными и начальными выборочными моментами для
- •6. Достаточность точечной оценки. Критерий факторизации. Доказать достаточность средней арифметической , используемой в качестве оценки параметра λ пуассоновского закона распределения .
- •8. Точные и асимптотические законы распределения выборочных характеристик. Вывести закон распределения в предположении, что выборка взята из нормальной генеральной совокупности х.
- •9. Вывести закон распределения ( ) в предположении, что выборки независимы и взяты из нормальных генеральных совокупностей х и у.
- •10. Доказать, что статистика имеет - распределение с (n-1) степенями свободы.
- •11. Доказать, что статистики и s2 , полученные по выборке из нормальной генеральной совокупности, независимы.
- •12. Случайная величина и статистики, имеющие -распределение. Их применение при оценивании параметров и проверке гипотез.
- •13. Случайная величина и статистики, имеющие t-распределение Стьюдента. Их применение в задачах оценивания параметров и проверке гипотез.
- •14. Случайная величина и статистики, имеющие f-распределение, и их применение в математической статистике.
- •16. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, полученные по выборке из нормальной генеральной совокупности.
- •19. Проверка гипотез о значении генеральной средней, при известной и неизвестной генеральной дисперсии. Вычисление мощности критерия.
- •20. Проверка гипотез о равенстве генеральных средних двух нормальных генеральных совокупностей. ( это без лекций)
- •21. Проблема Беренса - Фишера. Сравнение математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей, генеральные дисперсии которых неизвестны и не равны.
- •22. Проверка предположения, что две выборки объемом n1 и n2 взяты из одной нормальной генеральной совокупности.
- •23. Проверка гипотез о значении дисперсии генеральной совокупности. Вычисление мощности критерия (Без вывода мощности)
- •24. Проверка гипотез об однородности дисперсий ряда генеральных совокупностей. Критерии Бартлетта и Кохрана.
- •Проверка гипотезы однородности ряда вероятностей в случае биноминального распределения.
- •Проверка гипотезы однородности ряда вероятностей в случае полиномиального распределения.
- •27.Однофакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Общий вид модели.
- •28.Модель м1 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы о влиянии фактора а на результативный признак у. Вывести статистику критерия.
- •29. Модель м2 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы о влиянии фактора а на результативный признак у. Вывести статистику критерия.(нет)
- •30. Модель м1 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы относительно общего среднего. Вывести статистику критерия.
- •32. Модель м2 однофакторного дисперсионного анализа. Проверка гипотезы относительно общего среднего. Вывести статистику критерия.
- •33. Двухфакторный дисперсионный анализ и его цель. Разложение общей вариации на составляющие. Особенности моделей м1, м2 и смешанных.
21. Проблема Беренса - Фишера. Сравнение математических ожиданий двух нормальных генеральных совокупностей, генеральные дисперсии которых неизвестны и не равны.
Проблема Беренса-Фишера- аналитическая проблема, возникшая в связи со стат. задачей сравнения по эмпирическим данным мат. ожиданий в двух нормальных распределениях, дисперсии кот-ых неизвестны (предполагается, что отношение дисперсий также неизвестно).
Х ϵ N( ; ) => => ,
Y ϵ N( ; ) => => ,
Выборки независимы.
Проверим гипотезу : , без предположения равенства
Эта статистика (2) имеет t-распределение Стьюдента с числом степ.своб
,
= , т.к. несмещенная оценка D( – по определению D( ) = D( D( + ) (3)
Апроксимизируем распр. распределением некой статистики с степенью свободы
Условия
D( + ) (4)
Решаем (3)=(4) относительно , получаем. Число степеней свободы высчитывается по формуле:
(5) (заменили на их несмещенные оценки) Надо показать, что (5) имеет t-распределение (6), Z , , (7)
Тогда, учитывая (6), и подставив в него (1) и (7), будем иметь
Из следующей формулы определяется критическая область.
отвергается с вероятностью ошибки , если > => . В противном случае гипотеза не отвергается.
22. Проверка предположения, что две выборки объемом n1 и n2 взяты из одной нормальной генеральной совокупности.
Для проверки того, что выборки взяты из одной генеральной совокупности, необходимо проверить гипотезу о равенстве генеральных средних двух выборок и гипотезу о равенстве дисперсий.
Из генеральных совокупностей взяты две независимые выборки объемом и . Пусть и - средние арифметические выборочных совокупностей. Для проверки гипотезы H0 : использую статистику:
Которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированный нормальный закон распределения.
При H1: => ПКО => H1: => ЛКО => H1: => ДКО => Тогда, если: => отвергается с вероятностью ошибки => не противоречит опытным данным
Пусть Х и У – генеральные совокупности, значения признаков которых распределены по нормальному закону с дисперсиями и . Из этих совокупностей взяты две случайные независимые выборки, объемами nx и ny , и пусть и - исправленные выборочные дисперсии,
причем , где Требуется проверить H0 : против альтернативной H1 : . Основой критерия является статистика: , которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора(F-распределение) с и степенями свободы.
Для проверки выбирают ПКО. Границу критической области определяют из условия:
Если => гипотеза не противоречит опытным данным Если => гипотеза отвергается
Пусть X и Y нормальные совокупности с равными, но неизвестными дисперсиями и математическими ожиданиями и . Из этих совокупностей взяты две случайные независимые выборки с параметрами , и , . На уровне значимости проверяется гипотеза H0 : . В основе критерия лежит статистика:
Которая при выполнении нулевой гипотезы H0 имеет распределение Стьюдента с степенями свободы. При заданном уровне значимости выбор критической области зависит от конкурирующей гипотезы:
H1: - ПКО или H1: -ЛКО => H1: ДКО =>
Тогда, если: => отвергается с вероятностью ошибки => не противоречит опытным данным