13. Случайная величина и статистики, имеющие t-распределение Стьюдента. Их применение в задачах оценивания параметров и проверке гипотез.

Если z- нормированная нормальная СВ , а , причем z и U – независимые, тогда имеет распределение Стьюдента с степенями свободы ,

С его помощью можно вычислить доверительные интервалы , для m и  статистические критерии проверки гипотез, касающихся неизвестного среднего статистической выборки из нормального распределения.

Если выборка из , то выборочная характеристика будет иметь распределение Стьюдента c

Доказательство:

; ; преобразуем T умножив и разделив его на

=

• Применяется при построении доверительного интервала с заданной надежностью γ для генеральной средней µ при неизвестной генеральной дисперсии σ².

• Применяется при проверке гипотезы о значении генеральной средней µ при неизвестной дисперсии σ² при нахождении границ критической области; при расчете мощности критерия.

• Применяется при проверке гипотезы о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей при неизвестных генеральных дисперсиях при нахождении границ критической области.

14. Случайная величина и статистики, имеющие f-распределение, и их применение в математической статистике.

Если и - независимые СВ, имеющие распределение с степенями свободы, то СВ имеет F-распределение ( ) при >

Если по данным двух независимых выборок объемом n₁ и n₂ из нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых равны, т.е , получены исправленные выборочные дисперсии: и , то статистика при > :Док:

, - взаимно независимые исправленные выборочные дисперсии одной и той же дисперсии. M( )=M( )

Применение: позволяет решить задачу сравнения генеральных дисперсий

• Применение в дисперсионном анализе при проверке основной гипотезы (уровни фактора А не влияют на изменение результативного признака Y), при проверке гипотезы о значении генеральной средней комплекса (для моделей М1 и М2, однофакторный анализ), при проверке нулевой гипотезы об отсутствии влияния фактора А/В/АВ на результативный признак Y (для моделей М1, М2, С1, С2, двухфакторный анализ).

• Применение для проверки гипотезы о равенстве двух генеральных совокупностей

15. Интервальные оценки для генеральной средней, полученной из нормальной совокупности, при известной и неизвестной генеральной дисперсии.

Интервальной оценкой ген. сов. называют интервал , отснос. кот. близкой к доверительной вероятности можно утверждать, что параметр находится внутри данного интервала. h= - - ширина доверительного интервала.

Интервальные оценки для генеральной средней:

При известной дисперсии Пусть из генер.совок Х N(μ;σ), взята выборка . Найдем с довер. вероят. интервалы для μ. Согласно теореме 1 => ,тогда T= N(0,1)

Определим такое значение , чтобы )=

Ф(t)-интегр.ф-я Лапласа При неизвестной дисперсии Согласно теореме 5, имеем T= , )= =1-St( ;

t_α ↔ St ( t_α; ν=n-1)=α, где t_α – знач-е ф-ии Стьюдента,соответствующ. ν =n-1 степ.своб. и вер-ти α=1-γ. При n→∞ (n>30) t опред-ся для γ =Φ(t)