36. Теорема о потоке вектора .

Подобно тому, как было введено понятие потока вектора напряженности электрического поля, введем понятие потока вектора магнитной индукции, или магнитного потока. Элементарный магнитный поток через малую элементарную площадку , которую можно считать плоской, и в окрестности которой магнитное поле можно считать однородным, равен произведению вектора индукции на площадь выделенного элемента поверхности и косинус угла между вектором индукции и нормалью к поверхности: .

Поток может быть как положительным, так и отрицательным в зависимости от направления нормали к поверхности.

За единицу магнитного потока в системе единиц СИ принят вебер (Вб). 1 Вб – это магнитный поток через поверхность площадью 1 м2 , расположенную в однородном магнитном поле перпендикулярно вектору индукции β,

В случае неоднородного магнитного поля поток через какую-либо поверхность равен алгебраической сумме потоков через участки поверхности, вблизи которых поле можно считать однородным.

Магнитный поток, как и поток вектора напряженности электрического поля, можно считать равным числу магнитных силовых линий, пересекающих рассматриваемую поверхность. Магнитное поле является вихревым, то есть его линии магнитной индукции замкнуты. Поэтому замкнутая поверхность, помещенная в магнитное поле, пронизывается линиями магнитной индукции так, что любая линия, входящая в эту поверхность, выходит из нее. Следовательно, полный магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность равен нулю. Это утверждение носит название теоремы Гаусса для магнитных полей. Равенство нулю магнитного потока через замкнутую поверхность является следствием того, что в природе нет магнитных зарядов, и магнитные поля образуются только электрическими зарядами.

36. Теорема о циркуляции вектора .

Теперь обратимся к циркуляции вектора . По определению интеграл по замкнутому контуру L вида называется циркуляцией вектора индукции магнитного поля. Проще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямого тока. Пусть замкнутый контур лежит в плоскости, перпендикулярной к току (рис. 24.3, а), ток перпендикулярен к плоскости чертежа и направлен за чертеж) В каждой точке контура вектор направлен по касательной к окружности, проходящей через эту точку. Заменим в выражении для циркуляции через ( – проекция элемента контура на направление вектора ). Из рисунка видно, что равно b da, где b – расстояние от провода с током до dl, da – угол, на который поворачивается радиальная прямая при перемещении вдоль контура на отрезок .

Таким образом, подставив выражение (23.12) дляВ, получим:

. (24.6)

С учетом равенства (3.6) имеем:

. (24.7)

П ри обходе по контуру, охватывающему ток, радиальная прямая все время поворачивается в одном направлении, поэтому . Иначе обстоит дело, если ток не охватывается контуром (рис. 24.3, б). В этом случае при обходе по контуру радиальная прямая поворачивается сначала в одном направлении (участок 1-2), а затем в противоположном (участок 2-1), вследствие чего равен нулю. Учтя этот результат, можно написать: , (24.8)

где под I следует подразумевать ток, охватываемый контуром. Если контур тока не охватывает, циркуляция вектора равна нулю.

Из (24.8) можно сделать следующие выводы:

1) магнитное поле прямолинейного тока – вихревое, так как в нем циркуляция вектора вдоль линии магнитной индукции не равна нулю;

2) циркуляция вектора поля прямолинейного тока в вакууме одинакова вдоль всех линий магнитной индукции и равна произведению магнитной постоянной на величину силы тока.

Знак выражения (24.8) зависит от направления обхода по контуру (в этом же направлении отсчитывается угол ). Если направление обхода образует с направлением тока правовинтовую систему, величина (24.8) положительна, в противном случае – отрицательна. Знак можно учесть, полагая I алгебраической величиной, причем положительным нужно считать ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления будет отрицательным

С помощью соотношения (24.8) легко восстановить в памяти формулу (23.12) для В поля прямого тока. Представим себе плоский контур в виде окружности радиуса b (рис. 24.4).

В каждой точке этого контура вектор одинаков по величине и направлен по касательной к окружности.

Следовательно, циркуляция равна произведениюВ на длину окружности 2 , и соотношение (24.8) имеет вид

.

Отсюда (ср. с (23.12)).

Циркуляцией вектора по заданному замкнутому контуру называется интеграл

,

где - вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, - составляющая вектора в направлении касательной к контуру, - угол между векторами и .

Закон полного тока: циркуляция вектора по замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов, охватываемых этим контуром:

Д анный закон справедлив для постоянного магнитного поля.