- •1. Загальні принципи побудови систем
- •1.1 Поняття системи, її властивості та їх співвідношення. Прості та ієрархічні системи
- •Закономірності формування ієрархічних систем
- •1.3. Класифікації систем
- •Відкриті і закриті системи.
- •Цілеспрямовані системи.
- •Класифікації систем по складності.
- •1.4 Визначення й основні принципи системного підходу
- •1. Принцип пріоритету глобальної мети і послідовного просування
- •2. Принцип модульності систем
- •3. Принцип узгодження зв'язків
- •4. Усталеність систем
- •5. Принцип відсутності конфліктів між цілями окремих елементів чи підсистем і цілями всієї системи
- •1.5 Порівняльна характеристика класичного та системного підходів до формування системи
- •1.6 Основні задачі створення і дослідження систем
- •1.7. Основні етапи розробки систем
- •2. Термінологія і класифікація моделей об'єктів та систем
- •2.1 Закон і модель, їх співвідношення. Види моделей.
- •2.2 Побудова і аналіз статистичних моделей
- •2.2.1. Проведення експерименту відсіювання (вибір значущих факторів)
- •2.2.2. Вибір форми функціональної залежності
- •2.2.3. Визначення коефіцієнтів (параметрів) моделі
- •2.2.3.1 Метод найменших квадратів (мнк)
- •3. Регресійні моделі з однією змінною
- •3.1. Оцінка надійності коефіцієнтів моделі лінійної регресії
- •3.2 Приклад побудови моделі лінійної регресії
- •4. Моделі множинної лінійної регресії
- •4.1 Матрична форма моделі множинної регресії
- •4.2 Приклад побудови рівняння множинної регресії
- •4.3 Аналіз моделі множинної регресії
- •4.4 Визначення довірчих інтервалів коефіцієнтів множинної регресії
- •5. Композиція і декомпозиція складних об'єктів і систем
- •5.1 Еквівалентні перетворення моделей систем
- •1.Модель без додаткових зв’язків
- •2. Послідовне підключення моделей підсистем
- •П аралельне підключення моделей (рис.5.5).
- •7. Синтез оптимальних систем на основі динамічного
- •7.1 Визначення методу дп
- •7.2 Знаходження най коротшої відстані між двома вузлами на мережі доріг
- •7.3 Задачі розподілу ресурсів
- •Рішення
- •Рішення
- •9. Аналіз і синтез систем на основі імітаційного моделювання
- •9.1 Загальні питання імітаційного моделювання
- •9.2. Метод Монте-Карло
- •9.3 Види випадкових потоків
- •9.5 Імітаційне моделювання транспортних систем масового обслуговування
- •9.6 Алгоритм імітаційного моделювання смо
- •Підпрограма "Моделювання вхідного потоку"
- •Підпрограма "Моделювання вихідного потоку"
- •Підпрограма " Побудова діаграми №2 розподілу часових інтервалів вихідного потоку"
- •9.7. Приклад застосування програми імітаційного моделювання
- •10. Управління в організаційних системах. Принцип зворотного зв'язку
- •10.1 Основні принципи управління
- •10.1.1. Принцип управління по збуренню
- •10.1.2. Принцип управління по відхиленню (принцип зворотного зв'язку)
- •10.1.3. Принцип комбінованого управління
- •10.2 Приклад аналізу систем управління об'єктами економічного характеру
3.1. Оцінка надійності коефіцієнтів моделі лінійної регресії
Оцінка надійності коефіцієнтів моделі лінійної регресії є кінцевим етапом отримання лінійної моделі об'єкту. Ця операція має на увазі оцінку вірогідності того, що при повторних дослідженнях об'єкта ми отримаємо те ж саме рівняння регресії з тими ж самими коефіцієнтами а0 та a1 значення яких можуть коливатися лише у деяких, раніше заданих визначених межах. Ця оцінка дозволяє визначити ступінь довіри до отриманої моделі об'єкта.
Як вже зазначалося середньоквадратична похибка при застосуванні отриманої моделі визначиться як:
З урахуванням недостатньої репрезентативності вибірки (за рахунок обмеження N), її значення може бути оцінено за допомогою виразу:
(3.8)
де k - число параметрів моделі, що визначаються в рівнянні регресії (в лінійній регресії k = 2, оскільки визначаються лише а0 та а1).
При оцінці надійності коефіцієнту регресії (а1) в [5] рекомендується застосувати вираз її середньої похибки, обумовленої обмеженим об'ємом вибірки (N), у вигляді:
При оцінці надійності вільного члена рівняння регресії (а0) виразі середньої похибки матиме вигляд:
Прийнявши гіпотезу незалежності похибок та , загальну середню похибку моделі можна розрахувати як:
(3.9)
Тоді знаючи об'єм вибірки N і задавши рівень ймовірності довіри Р (зазвичай Р = 0,95 чи Р = 0,99) за таблицями t - розподілення Ст'юдента знаходимо значення коефіцієнта довіри (t), а потім інтервали довіри моделі:
(3.10)
При цьому межа коливань моделі ( = а0 + а1х) буде:
- при х = xтin мінімальною і рівною
(3.11)
- при х = xтax максимальною і рівною
(3.12)
Графічна інтерпретація отриманих виразів зображена на рис. 3.1, де заштриховане - це область довіри знаходження рівняння регресії.
Рис.3.1 Область довіри знаходження моделі регресі у(х)
3.2 Приклад побудови моделі лінійної регресії
Припустимо, що досліджується вплив пройденої автомобілем відстані на зношування шин. Щоб виключити вплив умов експлуатації були вибрані 5 різних типів автомобілів.
Експериментальні дані зведені до таблиці 3.2.
Таблиця 3.2 Дані експериментальних досліджень
Відстань хі(км) |
Величина зношування шин yij (мм) 5 автомобілів |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
10000 |
4 |
4 |
3 |
2 |
3 |
20000 |
6 |
6 |
5 |
4 |
7 |
30000 |
9 |
10 |
9 |
7 |
10 |
40000 |
12 |
12 |
11 |
9 |
13 |
50000 |
16 |
15 |
15 |
13 |
17 |
У якості інтервалу усереднення вибираємо Δх = 10000 км (і = 1,2,3,4,5), тобто N=5 (число інтервалів). Середнє по кожному інтервалу визначається за формулою:
де k - кількість типів автомобілів. Після розрахунків отримано: =3,2 мм, =5,6 мм, =9,0 мм, =11,4 мм, = 15,2 мм
Зобразимо розподілення значень інтервальних середніх на кореляційному полі (див. рис 3.2).
Рис. 3.2 Розподіл інтервальних середніх на кореляційному полі.
Очевидно, що найбільш підходящою апроксимацією у даному випадку буде лінійна регресія вигляду:
Зведемо данні усереднення до розрахункової таблиці 3.3
|
у(мм) |
х(тис.км) |
х2 |
ху |
|
3,2 5,6 9,0 11,4 15,2 |
10 20 30 40 50 |
100 400 900 1600 2500 |
32,0 112,0 270,0 456 660 |
Всього |
44,4 |
150 |
5500 |
1530 |
Сер. значення |
8,88 |
30 |
|
|
Отже, рівняння лінійної регресії має вигляд:
де х - тис. км.; у – в мм.
Відмітимо, що початкове зношування а0 = 2,94 мм не має (фізичного змісту, оскільки модель застосовується лише при величинах пробігу
10000 ≤х≤50000 км.
Спробуємо дещо покращити якість моделі. Для цього введемо до експериментальних даних апріорну інформацію про відсутність зношування нових шин, тобто у = 0 при х = 0 і визначимо нові параметри моделі регресії (при n = 6) (див. таблицю 3.4).
Таблиця 3.4
|
у(мм) |
х(тис.км) |
х2 |
ху |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
3,2 |
10 |
100 |
32,0 |
|
5,6 |
20 |
400 |
112,0 |
|
9,0 |
30 |
900 |
270,0 |
|
11,4 |
40 |
1600 |
456 |
|
15,2 |
50 |
2500 |
660 |
Всього |
44,4 |
150 |
5500 |
1530 |
Середнє значення |
7,40 |
25,0 |
|
|
|
|
|
|
За даними таблиці знаходимо:
а0 = 7,7 - 0,24∙25 = 1,7 мм.
Рівняння регресії має вигляд:
Як слідує з отриманого рівняння, введення додаткової точки у=0 при суттєво підвищує точність розрахункового значення у(0).
Більш того, достовірне знання того, що у = 0 при х = 0 дозволяє обрати модель вигляду:
Тоді розрахунок коефіцієнта регресії можна провести на основі середніх значень
що ще більш уточнює параметри моделі.
Визначимо похибку застосування трьох вказаних моделей:
для лінійної апроксимації експериментальних даних. Розрахункові величини зведемо до таблиці 3.5.
Таблиця 3.5
xi |
yi |
|
|
|
|
|
|
10 20 30 40 50 |
3,2 5,6 9,0 11,4 15,2 |
4,92 6,9 8,88 10,86 12,84 |
4,1 6,5 8,6 11,3 13,7 |
2,96 5,92 8,88 11,84 14,8 |
2,598 1,690 0,014 0,292 5,570 |
0,81 0,81 0,01 0,01 2,25 |
0,058 0,102 0,014 0,195 0,160 |
Сума квадратів відхилень |
10,164 |
3,89 |
0,529 |
||||
Середньоквадратична похибка відхилень |
2,03 |
0,778 |
0,106 |
Порівняння характеристик точності моделей показує, що введення додаткових достовірних даних дозволяє збільшити точність моделі.
У загальному випадку, якщо в моделі можливе врахування будь-якої достовірної інформації, то така модель завжди буде точнішою.
Для розрахунку значень загальної, факторної та залишкової дисперсії складемо наступну таблицю 3.6 (наприклад, для випадку першої моделі
).
Таблиця 3.6
|
yi |
|
|
|
|
|
|
3,2 5,6 9,0 11,4 15,2 |
4,92 6,9 8,88 10,86 12,84 |
-5,6 -3,2 0,20 2,6 6,4 |
-1,72 -1,3 0,12 0,54 2,36 |
31,36 10,24 0,04 6,76 40,96 |
2,96 1,69 0,014 0,29 5,57 |
Всього |
44,4 |
|
|
|
89,36 |
10,5256 |
Середнє значення |
8,88 |
|
|
|
|
|
Розрахуємо факторну дисперсію:
Тоді коефіцієнт детермінації визначиться як
тобто 88% зношування шин обумовлено дальністю пробігу автомобіля. Коефіцієнт регресії
що свідчить про велику близькість реальної залежності у(х) до лінійної форми.