1. Общая информация о логических устройствах.

1. Классификация.

Различные цифровые устройства и ЭВМ состоят из большого числа элементарных схем – элементов, преобразующих электрические сигналы или хранящих числовую или логическую информацию. Если электрическое преобразование сигналов элементами приводит к изменению их логического содержания, то такие элементы называют логическими. Если элементы выполняют только электрическое преобразование сигналов (усиление, изменение формы сигналов или уровней), то их относят к вспомогательным (усиливающим преобразующим) элементам. Функции хранения – запоминание сигналов на какое-то время выполняют элементы памяти.

В логических устройствах (элементах, узлах, схемах) простые и сложные высказывания на входах и выходах схем изображаются электрическими сигналами. Истинность высказывания может быть изображена положительным потенциалом, что условно соответствует состоянию «1»; ложность – нулевым или отрицательным потенциалом, что условно соответствует состоянию «0».

Такое соответствие между логическими высказываниями в алгебре логики и работой переключающих схем в цифровых устройствах позволяет с помощью алгебры логики решать задачи синтеза и анализа логических схем.

1.2 Формы представления логических функций.

Многообразие формул, посредством которых может быть выражена любая переключательная функция, определяет многообразие форм переключательных функций, т.е. способов их записи путём применения к переменным и их группам элементарных логических операций. Наиболее удобными для практического использования оказываются совершенные нормальные формы представления сложных переключательных функций. Из алгебры логики следует, что любая переключательная функция f(A, B, C…N) может быть представлена только одной совершенной дизъюнктивной нормальной формой (кроме константы нуль) или только одной совершенной конъюнктивной нормальной формой (кроме константы единица).

Пусть функция Х= f(A, B, С) задана таблицей №1. Запись функции х в виде логической суммы (дизъюнкции) логических произведений (конъюнкции) переменных, для которых значение функции Х равно единице, и является совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) представления логической функции.

А В С Х

0 0 0 0

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 1

Таблица 1

СДНФ переключательной функции следует находить в такой последовательности:

1. составить произведение переменных для строк таблицы истинности. Если значения переменной (А,В или С) в строке равны нулю, то в произведении записывается отрицание этой переменной;

2. написать сумму произведений для которых функция Х равна 1. Полученная сумма и является СДНФ.

Это правило называют правилом записи переключательной функции по единицам.

Следуя этому правилу и данным таблицы № 1, запишем аналитическое выражение, связывающее все наборы переменных для которых Х = 1:

Х = АВ С + А ВС + АВС+А В С

СКНФ переключательной функции следует находить в такой последовательности:

1) Составить логические суммы переменных для строк таблицы истинности, в которых функция Х равна 0. Если значение переменной (А,В или С) в строке равно 1, то в сумме записывается отрицание этой переменной;

2) Написать логическое произведение составленных логических сумм. Полученное произведение и является СКНФ.

Это правило также называется правилом записи переключательной функции по нулям.

СДНФ и СКНФ называют стандартными формами.

При синтезе логических схем применяют элементы с одним или несколькими входами. Условия функционирования таких элементов определяется переключательными функциями одного или нескольких переменных.

Входные и выходные сигналы логических схем кроме того зависят от времени (один из них в некоторый момент времени равны1, в другие моменты времени равны 0). Логические функции описывающие работу таких схем, называют переменными. Используют такие схемы, для которых во все моменты времени сигналы равны либо 1, либо 0. Логические функции, описывающие работу таких схем, называют постоянными.

Существуют только четыре различные переключательные функции одного переменного (таблица № 2), Как видно из таблицы, только две функции не зависят от переменной А (в этих случаях применяется А фиктивная).

Таблица 2

X	A		Условное обозначение	Наименование функции
	0	1
Х0 = f0(A)	0 0		0	Константа 0
Х1 = f1(A)	0 1		А	Переменная А
Х2 = f2(A)	1 0		Ā	Инверсия А
Х3 = f3(A)	1 1		1	Константа 1

Для функции двух переменных существует 16 различных переключательных функций, но только 10 из них существенно зависят от переменных А и В.

Элемент Элемент импликатор запрет

Щеффера Пирса

Равнозначность сложение по модулю 2

Рис. 1 Условное обозначение переключательных функций двух переменных.

2. Этапы синтеза логических устпройств.

2.1. Принципы построения логических систем.

Существует понятие – система Л.Э. – это совокупность логических элементов (например в интегральном исчислении) использующий одинаковый принцип представления букв структурного алфавита и обеспечивающих рациональное построение любого цифрового вычислительного устройства.

Система Л.Э должна удовлетворять двум условиям:

1. Функциональная полнота. Система ЛЭ является функционально полной, если она реализует функционально полную систему ЛЭ.

2. Совместимость входных и выходных сигналов. Что означает возможность их работы при соединении друг с другом, без каких – либо согласующих элементов.

Синтез логических устройств включает ряд этапов.

1) Задание закона функционирования устройства (он может быть задан словесно, аналитически либо в форме таблицы)

2) Поиск современной нормальной формы переключательной функции (СКНФ или СДНФ).

3) Минимизация СНФ.

4) Выбор системы ЛЭ.

5) Перевод полученных СНФ в базис выбранной системы ЛЭ.

6) Построение функциональной схемы и её анализ.

2.2 Применение алгебры логики для синтеза и анализа логических устройств.

Логические схемы, составленные из соединённых определённым образом, логических элементов, называются функциональными.

Будем считать, что логическая схема Рис. 2. имеющая n входов и m выходов, полностью задана, если известен закон функционирования схемы, который определяет значения выходных сигналов Х1, Х2, Х3, …Хm в зависимости от значения входных сигналов A, B, C, …N. Закон функционирования можно описать системой логических функций, которые также как и её аргументы, могут принимать только два значения (1 или 0), т.е.

X1 = f₁ (A, B, C,…N)

X2 = f₂ (A, B, C,…N)

………………………

Xm = f_m (A, B, C,…N).

Рис. 2 Условное обозначение логической схемы.

При синтезе логических схем необходимо, прежде всего, выбрать типы элементов (систему ЛЭ), из которых должны собираться эти схемы, а затем определить наиболее простую структуру схемы т. е. способ соединения элементов, при котором их число будет минимальным.

Рассмотрим по этапам построение сложной логической схемы путём суперпозиции (каскадной коммутации) логических элементов И, ИЛИ и НЕ.

Пусть требуется построить логическое устройство, имеющее три входа А,В, и С и один выход Х, при условии, что на выходе Х должен быть сигнал “1”, если есть сигнал “1” или на входе А, или на входах А и В, или на входах А,В и С.

Этап 1

Составим таблицу истинности, характеризующую работу данного логического устройства

Таблица 3.

А	В	С	Х
0	0	0	0
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	1
1	1	1	1

Здесь первое слагаемое правой части определяет возможное общее число переменных, а второе слагаемое соответствует числу конъюктивных или дезъюктивных членов, образующих логическую функцию. Для случая n = 3 реализация функции трёх переменных требует не более 16 связей.

Этап 2

Запишем в соответствии с таблицей №3 СНФ.

СДНФ  Х = АВС + АВС + АВС

СКНФ  Х = (А+В+С)(А+В+С)(А+В+С)(А+В+С)(А+В+С)

Синтез логической схемы, реализующий функцию с минимальным числом физических элементов, связан с минимизацией совершенной нормальной формы логической функции. Это требует сведения до минимума общего числа переменных, входящих в неё. Число связей, реализующих логическую функцию n переменных (в данном случае n = 3) не превосходит

N  2^{n - 1}n + 2^{n – 1}

Этап 3.

Производим минимизацию структурной формулы логического устройства. Задача минимизации логической функции и переменных значительно упрощается, если структурную формулу, определяющую необходимое максимальное число входных каналов связи составлять в СДНФ (когда число конъюктивных членов в таблице истинности меньше 2 ^{n - 1}) или СКНФ (когда число конъюктивных членов в таблице истинности больше 2 ^{n - 1}).

Для данного примера следует минимизировать структурную формулу в СДНФ. Минимизация структурной формулы может осуществляться разными способами. Наиболее простым способом является способ последовательного исключения переменных с помощью законов и тождеств алгебры логики.

X = ABC + ABC + ABC = ABC + AB (C + C) =

= ABC + AB = A (B + B)  (B + C) = AB +AC = A (B + C)

(B + B) = 1 и (C + C) = 1

Этап 4.

Рассмотрим построение функциональной схемы, реализующей структурную формулу логическими функциями СДНФ, СКНФ и минимизированной.

При построении функциональной схемы реализующей структурную формулу СДНФ, последовательность операций следующая:

1) Получить отрицание от переменных В и С;

2) Выполнить логическое умножение ABC; ABC; и ABC

3) Выполнить логическое сложение ABC + ABC + ABC т.е. реализовать заданную функцию (Рис 3).

Рис 3. Логическая схема реализующая переключательную функцию ABC + ABC + +ABC

Рис 4. Логическая схема реализующая переключательную функцию Х = А(В + С)

Как видно из построения, максимальное число последовательно включённых каскадов в схеме, через которые должны проходить кодовые сигналы, равно трём.

Часто, когда на входы схемы поступают не только переменные А В и С, но и их отрицания А В С, общее количество логических элементов схемы сокращается за счёт исключения элементов НЕ на входе, при этом уменьшается на единицу и число каскадов.

Анализ построения схем даёт возможность наглядно показать, что наиболее простой содержащей минимальное количество элементов, является схема, построенная по минимизированной структурной формуле.

2.3 Функционально полные системы переключательных функций для синтеза схем.

Система переключательных функций Х1 ,Х2, Х3…Хm называется функционально полной, если любую функцию алгебры логики можно получить с помощью, функций, входящих в эту систему.

Ā

Рис. 5 Логические схемы для функций “НЕ”, “И” и “ИЛИ” на элементах Шеффера.

Рис. 6 Логические схемы для функций “НЕ” “И” и “ИЛИ” на элементах Пирса.

Система, включающая в себя дизъюнкцию, конъюнкцию и инверсию, является функционально полной. Полными также будут системы, состоящие из дизъюнкции и отрицания или конъюнкции и отрицания.

Полную систему также образуют одна функция Шеффера (Х = А + В) или одна функция Пирса (Х = АВ).

Джорж Буль 1815 – 1864 г. Англ. математик и логик. “Исследование законов мышления”.

“Логічні вузли”.

1. Загальні відомості про логічні вузли.

1.1 Логічний вузол – це функціонально – самостійна частина будь – якого цифрового електронного пристрою (Наприклад ЕВМ), що виконує композицію логічних операцій.

Завдяки розвитку мікроелектроніки логічні вузли мікроелектронна промисловість може виготовляти будь – які складні, від простого, наприклад тригерного пристрою, до складного мікропроцесора.

1.2 Тригерний пристрій – елементарний послідовний цифровий автомат с двома стійкими електричними станами.

Тригер призначений для зберігання інформації та роботи в схемах перемкнення. Тригерні пристрої класифікуються за способом логічних зв’язків та за способом запису інформації.

1 .3 JK – тригер – це найбільш широко використований універсальний тригер, що має характеристики усіх інших тригерів.

Рис.1. Условное обозначение. Рис.2. RS – триггер.

Таблица истинности JK-триггера.

Таблица 1.

Режим работы	Входы			Выходы
	C	J	K	Q	Q	Влияние на выход Q
Хранение		0	0	Без изменений		Блокировка
Установка 0		0	1	0	1	Сброс в состояние 0
Установка 1		1	0		10	Установка в сост. 1
Переключение		1	1	Переключается		Изменение сост. на противоположное

1.4. Счётчик – логический узел, обеспечивающий подсчёт импульсов, поступающих на его вход, запоминание числа поступающих импульсов и представление его в виде двоичного кода

Таблица 2

Двоичный счёт				Десятичный счёт
D	C	B	A
0 0 0 0 0 0 0 0 1 1	0 0 0 0 1 1 1 1 0 0	0 0 1 1 0 0 1 1 0 0	0 1 0 1 0 1 0 1 0 1	0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1	0	1	0	10
1 1 1 1 1	0 1 1 1 1	1 0 0 1 1	1 0 1 0 1	11 12 13 14 15

К155ИЕ

Рис. 3. Условное обозначение счётчика.

Счётная последовательность для счётчика по модулю 16

Функциональная схема счетчика по модулю 16, составленного из четырёх JK-триггеров показана на рис. 4. Каждый триггер работает в режиме переключения (J=K=1). При поступлении тактового импульса на вход СО (синхронизирующий вход) триггер Т1 переключается, а следующий тактовый импульс возвращает его в исходное состояние, что в свою очередь приведёт к переключению триггера Т2 и так далее. Если начальное состояние счетчика было 0000, то за последующие 15 тактовых импульсов счетчик перейдёт в состояние 1111,что соответствует десятичному счету от 0 до 15. Если необходимо ограничить счет до 10, то следует обеспечить сброс счетчика в “0” при достижении кода 1001 (9), это достигается дополнительной цепью сброса, которая на структурной схеме 4 показана пунктиром.

Рис.4. Структурная схема счетчика по модулю 16 (10).

1.5 Дешифратор – логический узел, предназначенный для преобразования кодов. Для работы с светодиодными цифровыми индикаторами на дешифратор (К155ИД2, К514ИД2) позволяющий преобразовывать двоичный код типа 8421 в код семисегментного индикатора.

Рис. 5. Схема цифрового индикатора.