1. Последовательное соединение элементов r,l,c в цепи синусоидального тока.

П о второму закону Кирхгофа: U = U_R + U_L + U_C

Реактивное сопротивление в зависимости от знака может иметь индуктивный (>0) или емкостный (<0) характер.

При определении полного сопротивления цепи z необходимо учитывать, что активные сопротивления складываются арифметически, реактивные сопротивления складываются алгебраически (индуктивное сопротивление имеет положительное значение, а емкостное сопротивление - отрицательное значение), а активные и реактивные сопротивления складываются между собой геометрически.

Фазовый сдвиг между напряжением источника и током, протекающим по рассматриваемой цепи, определяется соотношением сопротивлений

.

Если все стороны полученного треугольника, разделить на ток i (который общий для всех элементов), то получим треугольник сопротивлений:

R = Z cos j, X = Z sin j.

.

А если умножить стороны треугольника напряжений на ток і, то получим треугольник мощностей:

,

где:

S – полная мощность ВА;

Q – реактивная мощность ВАР;

P – активная мощность;

сos j – коэффициент мощности;

Аналогично можно получить треугольник проводи мости. Отметим, что все полученные треугольники – подобны.

2. Параллельное соединение элементов r,l,c в цепи синусоидального тока.

Для параллельного соединения элементов по первому закону Кирхгофа можем записать:

; где: ; тогда:

Введем понятие полной проводимости: , которая, как и полное сопротивление, состоит из активной и реактивной составляющей , или – активная проводимость; – реактивная проводимость.

Тогда для рассматриваемой цепи: . Для каждой параллельной ветви можно записать , .

На рисунке слева представлена векторная диаграмма для данного примера. Где:

.

Приложение №2

Задание на контрольную работу №2.

Расчёт последовательной цепей переменного тока

Пример расчёта

1. Определение реактивных сопротивлений

2. Расчёт активного сопротивления

3. Расчёт полного сопротивления цепи

4. Расчёт тока в цепи

5. Расчёт сдвига фазы

6. Расчёт мощностей:

• полная мощность S=I U (BA)

• реактивная мощность Q=S sin  (BAP)

• активная мощность Р=S cos  (Bт)

Таблица №2.

№		f	L	C	R1	R2	R3	U
1	Рис. 1	50	3	10	50	100	50	100
2			4	10	60	150	60
3			5	11	70	200	70
4			6	12	80	100	80
5			7	11	90	150	90
6			8	15	60	200	60
7			9	20	40	100	40
8			10	10	30	150	30
9			11	18	50	200	50
10			12	16	60	100	60
11	Рис. 2	400	5	16	50	80	20	36
12			7	18	60	90	25
13			15	20	70	100	30
14			8	16	30	110	35
15			12	15	40	120	40
16			9	24	50	130	45
17			12	22	60	140	50
18			18	20	70	150	55
.19			7	18	90	160	60
20			21	16	40	170	65
21	Рис 3	200	6	14	20	180	70	150
22			7	12	25	190	75
23			8	10	30	200	80
24			9	9	35	210	85
25			10	8	40	220	90
26			12	76	45	230	95
27			14	6	50	240	100
28			16	5	55	250	105
29			18	4	60	120	110
30			20	3	65	110	115

L - мГн

C - мкФ

R - Ом

F - Гц

U - вольты

Тема №4. Резонансные явления в электрических цепях.

1.Резонанс в последовательном контуре.

Рассмотрим последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов. Такую цепь часто называют последовательным контуром или RLC-цепью. Если сопротивление r – мало, а индуктивное и емкостное сопротивления на частоте ω₀ равны (₀L = 1/₀C), то в такой цепи возникают резонансные явления

Рис.4.1.

При ₀L = 1/₀C значения противоположных по фазе

напряжений на индуктивности и емкости равны, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений.

Напряжение на индуктивности и емкости при резонансе могут значитенльно превышать напряжение на входных выводах цепи, которое равно напряжению на активном сопротивлении. Полное сопротивление цепи при резонансе равно активному сопротивлению контур R_k:

А ток I при заданном напряжении U достигает наибольшего значения U/r.

Из условия L=1/C следует, что резонанса можно достичь, изменяя либо частоту напряжения питания, либо параметры цепи: индуктивность или емкость. Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной угловой частотой

; ;

Если подставить значение резонансной угловой частоты в выражение индуктивного (ωL), или емкостного (1/ωC) сопротивления, то получим значение характеристического сопротивления контура:

Отношение напряжения на индуктивном или емкостном элементе к напряжению питания при резонансе обозначают буквой Q и называют добротностью контура или коэффициентом резонанса.

Добротность контура Q указывает, во сколько раз напряжение на индуктивном или емкостном элементе при резонансе больше, чем напряжение питания, когда Q>1, если >R_K.

Для исследования зависимости параметров контура от частоты (т.е. частотных характеристик) введем специальную функцию, которая будет учитывать резонансные свойства контура и расстройку (уход) частоты от резонансной:

тогда, входное сопротивление контура в зависимости от расстройки можно записать:

2.Резонанс в параллельном контуре.

Рассмотрим цепь с двумя параллельными ветвями: параметры одной -- сопротивление r₁ и индуктивность L, а другой -- сопротивление r₂ и емкость С. Сопротивление r₁ представляет собой сопротивление индуктивной катушки R_K и в реальном резонансном контуре имеет небольшую величину, а сопротивление r₂ – потери в диэлектрике конденсатора С, которые очень малы и ими можно пренебречь.

Такую цепь называют параллельным контуром. Если учесть, что сопротивления r₁ и r₂ малы, то векторная диаграмма (теоретическая) будет иметь вид рис.2. Резонанс наступает тогда, когда реактивные сопротивления в контуре будут равны (L=1/C). В этом случае токи I₁ и I₂ тоже равны и противоположные по фазе, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи получил название резонанса токов. Из векторной диаграммы видно, что при резонансе ток I на входных выводах контура может быть значительно меньше токов в ветвях I₁ и I₂. В теоретическом случае при r₁ = r₂ = 0 токи I₁ и I₂ сдвинуты по фазе на углы +90⁰ и -90⁰ и суммарный ток I = I₁+I₂ = 0.

Добротность контура Q и характеристическое (волновое ) сопротивление контура ρ определяется аналогично контуру с последовательным соединением LC.

В контуре при резонансе возникает обмен энергией между конденсатором и катушкой индуктивности, при этом ток в контуре I_K значительно возрастает:

Эквивалентное сопротивление контура для внешнего источника определяется его волновым сопротивлением и добротностью:

В реальном контуре можно достичь Q=200 – 400, а ρ=100 – 500, поэтому эквивалентное сопротивление контура при резонансе велико, а ток I, поступающий в контур, мал.

Зависимость входного сопротивления контура от частоты внешнего сигнала определяется выражением:

Резонансные кривые для определения полосы пропускания параллельного контура строят по значению входного сопротивления, нормированному относительно его максимального значения, т.е. R_Э

n = 0,707

Сокращенное изложение темы 4

РЕЗОНАНС НАПРЯЖЕНИЙ

Если а , то в цепи возникает явление резонанса на частоте .

; .

Если подставить значение в то получим , где  - характеристическое сопротивление.

Добротность ; - затухание (обратная величина добротности).

, где

РЕЗОНАНС ТОКОВ

где: - полоса пропускания.

; ; .

Величины Q и  для радиотехнических устройств

, --..

.-нормированная резонансная кривая.