1 . Геометрия Лобачевского

Н.И.Лобачевский

История создания геометрии Лобачевского одновременно является и историей многочисленных попыток доказать пятый постулат Евклида. Пятый постулат – последнее и самое сложное из предложений, включенных Евклидом в его аксиоматику геометрии. Напомним формулировку постулата: если две прямые пересекаются третьей так, что по какую-либо сторону от нее сумма внутренних углов меньше двух прямых, то по эту же сторону исходные прямые пересекаются. Многие математики, жившие после Евклида, пытались доказать, что эта аксиома (пятый постулат) – лишняя, то есть она может быть доказана как теорема на основании остальных аксиом.

До XIX века евклидова геометрия с ее пятым постулатом представлялась единственным правильным учением о пространстве. К идее о возможности существования геометрии, отличной от евклидовой, независимо друг от друга и почти одновременно пришли несколько человек: наш соотечественник, профессор Казанского университета Николай Иванович Лобачевский (1792-1856), венгр Янош Бойяи ( 1802-1860) и немецкий математик Карл Фридрих Гаусс ( 1777-1855). Николай Лобачевский был первым математиком в мире, провозгласившим новые идеи неевклидовой геометрии. В 1829 году вышел в свет «Казанский вестник» с сочинением Лобачевского «О началах геометрии», содержащий обстоятельное изложение доклада, представленное Лобачевским Ученому совету физико-математического факультета казанского университета 11(23) февраля 1826 года. А Янош Бойяи опубликовал в 1832 году на латинском языке произведение «Приложение, излагающее абсолютно верное учение о пространстве, независимое от правильности или ложности XI аксиомы Евклида…». Эта работа являлась приложением к математическому трактату его отца Фаркаша Бойяи, и поэтому она сохранила в математической литературе название «Аппендикс». В ней излагалась та же теория, что и у Лобачевского, но в значительно менее развитой форме. К.Ф.Гаусс вовсе не опубликовывал ничего из полученных им результатов в этой области из боязни быть непонятым. Новизна идей и глубина полученных результатов наряду со сжатостью изложения работ Н.И.Лобачевского долгое время были серьезными препятствиями для понимания новой геометрической системы. Статью Лобачевского даже отправляли «великим ученым» в Петербург, но и здесь никто ничего не понял, и работа была квалифицирована как бессмысленная. Но Лобачевский упорно продолжал продвигать идеи своей новой геометрии. и прошло не менее двадцати лет, прежде чем геометрия Лобачевского завоевала свои права в математике. Лишь благодаря исследованиям Бернгарда Римана, проведенным в середине XIX века, а также публикации после смерти Гаусса его переписки с некоторыми его друзьями-математиками, в которой содержались высокие оценки исследованиям Лобачевского и Бойяи, геометрия Лобачевского заслужила должное признание во всем мире.

Чем же так особенна геометрия Лобачевского? Конкретно, в геометрии Лобачевского предполагается, что в данной плоскости к данной прямой через не принадлежащую к этой прямой точку можно провести более одной параллельной прямой, то есть новый, пятый постулат звучит следующим образом: V*: Пусть а - произвольная прямая, а А - точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и прямой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точку А и не пересекающих прямую а.

Это изменение в основных соотношениях (аксиомах) влечет за собою, конечно, изменение и в остальных соотношениях между пространственными элементами, соотношениях, составляющих содержание данной геометрии. Так, например, в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника меньше двух прямых, в ней не существует прямоугольников; всякие две подобные фигуры в геометрии Лобачевского необходимо равны между собою и т. д. Для двух прямых существует уже не два, а три случая их взаимного расположения: прямые могут пересекаться, быть параллельными и могут расходиться.

Прямая АВ называется параллельной прямой СД, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и СД, любой внутренний луч угла QPB пересекает луч ОД. Две прямые на плоскости Лобачевского называются расходящимися (или сверхпараллельными), если они не пересекаются и не параллельны.

В геометрии Лобачевского нет необходимости вводить линейные константы, так как угол зависит от расстояния и, имея естественную единицу измерения углов можно условиться о выборе естественной единицы измерения длины.

С

Псевдосфера

ловом, получается геометрическая картина, резко отличающаяся от привычной нам геометрии Евклида. Возникает мысль, что вся эта очень интересная теория, богатая различными фактами, может быть непротиворечива – а как же иначе, взяли и один из постулатов заменили на противоположный. Чтобы доказать непротиворечивость всей этой геометрии, надо было рассмотреть модель, где выполняется именно эта геометрия. Но сам Лобачевский этого уже не смог сделать, и построение модели с доказательством непротиворечивости геометрии выпало на долю математиков следующего поколения. Так, в 1868 году итальянский математики Э.Бельтами исследовал вогнутую поверхность, называемую псевдосферой и доказал, что на этой поверхности действует геометрия Лобачевского. Еще одна модель была предложена французским математиком А.Пуанкаре, он, как и другой математики, предложивший модель геометрии Лобачевского, немецкий математики Ф.Клейн, рассматривает внутренность некоторого круга, задавая вы нем определенным образом основные объекты геометрии Лобачевского.

Впоследствии были предложены и другие модели геометрии Лобачевского, этими моделями была окончательно установлена непротиворечивость геометрии Лобачевского.

Позже, в двадцатом веке, было обнаружено, что геометрия Лобачевского не только имеет важное значение для абстрактной математики, как одна из возможных геометрий, но имеет непосредственное приложение к областям физики и математики. Так, например, в расчетах современных синхрофазотронов используются формулы геометрии Лобачевского.

Геометрия Лобачевского, называемая еще гиперболической геометрией, представляет собой важнейший этап эволюции не только самой геометрии, но и всей математической науки. Работы Лобачевского привели к широким обобщениям в геометрии и их глубоким приложениям во многих областях математики, механики, физики, астрономии.