2. Конические винтовые линии

Не меньшее значение в геометрии и, особенно в окружающем нас мире, помимо цилиндрических винтовых линий, имеют конические винтовые линии. Многое о том, что говорили про цилиндрическую винтовую линию, переносится и на коническую.

Очень похоже и само построение конической винтовой линии. Точка опишет коническую винтовую линию, если она двигается равномерно по образующей конуса, а эта образующая вращается равномерно около оси конуса с постоянной угловой скоростью (рис.17).

Рис.17

П о аналогии с цилиндрическими спиралями, конические спирали, например пружины в матрасах, могут быть как право, так и левовинтовыми.

Горизонтальная проекция конической винтовой линии представляет собой спираль Архимеда (рис.18).

Рис.18

Геометрическим свойством, характеризующим спираль Архимеда, является постоянство расстояний между соседними витками. Каждое из них равно 2πa, где a – некоторое фиксированное число.

По спирали Архимеда идет, например, звуковая дорожка на грампластинке; туго свернутый рулон бумаги в профиль также представляет собой спираль Архимеда. Металлическая пластинка профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной емкости. Одна из деталей швейной машины – механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку – имеет форму спирали Архимеда.

С коническими поверхностями связано и много тайн, так, например, загадочные конусы в Египте.

Лекция 4. Симметрия в геометрии и природе

Красота тесно связана с симметрией. Г.Вейль

В

Элемент мозаики

окружающем нас мире встречается много элементов, поражающих нас своею красотой и удивительной структурой. В первую очередь, это творение рук человека. Например, правильная четырехугольная квадратная мозаика – с ее помощью выложены и мостовые, и дороги, и плитка в ванне. Но только квадратной мозаикой не ограничивается возможность заполнения определенного пространства. Она может быть и треугольной, и шестиугольной. Примером шестиугольной могут являться пчелиные соты. Вокруг нас находится и много красивых симметричных архитектурных зданий, многие объекты как живой, так и неживой природы поражают нас своей симметричной красотой: бабочки, цветы, кристаллические решетки элементов, атомы.

В каждом из этих примеров прослеживается закономерность, свойственная точкам рассмотренных объектов – это свойство симметрии. Симметрия, как свойство фигуры, характеризует ее некоторую правильность, неизменность при действии некоторых движений, отражений. Есть и более сложное определение этого понятия.

С

Орнамент бабочки

имметрия, или отражение относительно плоскости α, прямой l, есть преобразование пространства, при котором каждая точка М переходит в точку M′ такую, что отрезок ММ′ перпендикулярен плоскости α (прямой l) и делится ею пополам.

Немецкий математик Герман Вейль, интересовавшийся всю свою жизнь проблемами симметрии, определял симметрию так: симметричным будет тот предмет, с которым можно проделать какую-то операцию, и вновь получить тот же предмет.

Самый простой вид симметрии – это центральная симметрия. Так, ее на плоскости вполне можно отождествить с поворотом фигуры на 180 градусов.

Бабочка симметрична вдоль своего тела, или иначе – вдоль некоторой прямой. Это осевая симметрия, где роль оси играет эта прямая.

М ы смотримся в зеркало и видим самих себя, но где у нас правая рука, у зеркального двойника, она левая – это пример симметрия относительно плоскости (зеркальная симметрия).

С

Симметрия отражения

этой симметрией связаны многие свойства окружностей. Так, например, окружность симметрична относительно любой прямой, проходящей через ее центр.

Сфера, как и шар, являются самыми симметричными фигурами, так как у них есть все известные нам симметрии. В том числе сфера обладает и плоскостью симметрии. Плоскость называется плоскостью симметрии фигуры, если симметрия относительно этой плоскости переводит эту фигуру в себя.

Возьмем квадратный лист бумаги и попытаемся определить, есть ли у него какие-нибудь элементы симметрии. Если мы перегнем лист пополам, он целиком закроет свою оставшуюся часть. Если же мы согнем лист точно по диагонали, то получим тот же результат. И в первом, и во втором случае линии сгиба будут представлять собой ось симметрии. Также можно найти ось симметрии и у правильного треугольника, и у правильного шестиугольника. Но при этом конечно существуют и абсолютно несимметричные многогранники, например, произвольный треугольник, четырехугольник.

Н

Симметрия…является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство. Г.Вейль 

аша жизнь во всех своих проявлениях обнаруживает одну и ту же цель: все живое повторяет себя в себе подобном. Например, листья клена подобны листьям клена, так же как листья березы - листьям березы, а листья рябины - листьям рябины.

Все вышеупомянутые виды симметрии можно встретить у разного рода кристаллов. Их изучением занимается отдельный раздел геометрии, называемый симметрия кристаллов. Симметрия кристаллов – это закономерность атомного строения, внешней формы и физических свойств кристаллов, заключающаяся в том, что кристалл может быть совмещен с самим собой путем поворотов, отражений, параллельных переносов (трансляций) и др. преобразований симметрии, а также комбинаций этих преобразований.

С симметрией связано немало и преданий, легенд. Так, например, бытует поверие, что если найти цветок сирени с пятью лепесточками, то можно загадать желание и оно обязательно сбудется.

В известной сказке Валентина Катаева главная героиня получила в подарок цветик-семицветик – чудо-цветок, исполнявший любые желания. Он походил на ромашку и имел семь разноцветных лепестков, за что его и прозвали семицветиком.

И здавна цветы считаются симво­лом красоты и совершенства. Известный математик Герман Вейля (1885—1955) считал, что цветы достойны внимания исследователя, потому что обладают свойством так называемой поворотной симметрии, весьма распространённой в мире растений. С его мнением согласны и биологи: характер симметрии в строении цветка служит одним из его существенных признаков.

П

Ветка сирени

оворотная ось симметрии — это прямая линия, при повороте вокруг которой на определенный угол фигура совмещается сама с собой. Обозначение: международное — n, по формуле симметрии — L_n. Так, ось второго порядка обозначается 2 или L₂, третьего — 3 или L₃, и так далее. Порядок оси симметрии n показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой при полном обороте вокруг этой оси.

Поворотная симметрия n-го порядка проявляется в том, что цветок всякий раз при повороте на угол n каждый лепесток встаёт на место соседнего и после n таких перемещений в одном направлении занимает исходное положение. Таким образом, порядок поворотной симметрии цветка определяется, иначе говоря, числом его лепестков.

Например, для цветка с двумя лепестками он совмещается сам с собой при пово­роте на углы 180° и 360°. Для трилистников (например, ирис) подходя­щие углы поворота — 120°, 240°, 360°. В природе встречаются цветы и с поворот­ной симметрией 4-го порядка (сирень), 6-го (лилия) и более высоко­го порядка.

П

Цветок ириса

оэтому, можно сделать вывод, что природа в основном, отдаёт предпочтение цветам с числом лепестков кратным 3,4 или 5. Но существует ли тогда в природе семицветик? Так, известно, что в неживой природе у безупречно симметричных кристал­лов, из которых состоят все твёрдые тела, поворотная симметрия 7-го по­рядка принципиально невозможна.

Тем не менее, цветок с семью лепестками существует, его можно найти в малочисленном роду Trientalis (семейства первоцветных), где существует похожий на звёздочку белоснежный цветок многолетнего травянистого растения, носящий название седмичник европейский. Цветки с семью лепестками встречаются и у некоторых других видов, например у печёночницы благородной, но чаще лепестков бывает всё-таки шесть или восемь.

Можно заключит, что в природе поворотная симметрия 7-го порядка — большая редкость. Но все зависит от человека. Можно поискать элементы симметрии и в декоративном искусстве: прикладном (вышивке, росписи, резьбе, чеканке) и монументальном, связанном с архитектурой (в витражах, мозаике, рельефах и пр.). Поворотная симметрия чётко прослеживается в круговом орнаментах, которыми украшают одежду и предметы быта, фасады и интерьеры домов и других зданий.

В декоративных элементах преобладает поворотная симметрия порядка n, равного или кратного 3, 4 либо 5, но никак не 7. Похожая картина наблюдается и в других случаях. Поворотную симметрию 7-го порядка не найти ни в особой форме окон, ни в конструкциях куполов, сводов, ни в общей планировке сооружений. Исключением, пожалуй, является орнамент с поворотной симметрией 7-го порядка, обрамлявший герб Республики Грузия. Скорей всего, редкость такого орнамента заключается в особенностях конструирования рисунка. Для этого обратимся к геометрии и выясним, на какое число частей можно разделить окружность?

Если перед нами стоит задача разделить круг на две или четыре части, то это не вызовет затруднений. Но если число частей равно трем, пяти? Иными словами, в основе создания рисунка орнамента лежит задача о делении круга на равные части, которая сводится к разбиению на равные дуги ограничивающей круг окружности. Она известна также как задача на построение правильного многоугольника с заданным числом сторон и традиционно решается при помощи циркуля и линейки. Эта задача стоит в одном ряду с тремя знаменитыми задачами древности:

Ещё со времён Пифагора греческие учёные проявляли интерес к правильным многоугольникам и развивали искусство их точного построения. При помощи циркуля и линейки древние геометры умели строить правильные n-угольники с числом сторон, равным 3, 4, 5, 6, 8, 10, 15. При этом использовалась окружность, описанная около многоугольника. Одни из указанных фигур можно получить на основе других. Так, имея квадрат, легко построить правильный восьмиугольник, для этого необходимо разделить пополам каждую из четырёх дуг, на которые вершины квадрата разбивают описанную около него окружность. Всего на окружности будут отмечены восемь точек — вершин искомой фигуры. Затем последовательно соединяются отмеченные точки отрезками (рис.19).

Умея строить правильный n-угольник, нетрудно получить правильный 2n-, затем 4n-, 8n- и вообще всякий правильный (2n)-угольник, повторяя процедуру деления необходимое число раз. Отсюда следует, что достаточно решить исходную задачу для правильных многоугольников с нечётным числом сторон.

Также, например, с помощью циркуля и линейки нельзя построить правильный девятиугольник, так как невозможно разделить на три равные части каждую из дуг, на которые разбивают описанную окружность вершины равностороннего треугольника – задача о трисекции угла (делении его на три части) является неразрешимой. Математикам безуспешно пытались решить задачу для ряда и других значений n, в том числе n=7. Неизвестно было даже, осуществимо ли такое построение в принципе.

Ответ на вопрос, занимавший геометров почти 2300 лет, был дан только в 1796 году. Будущий «король математики» 18-летний Карл Фридрих Гаусс доказал, что при помощи циркуля и линейки правильный n-угольник с нечётным числом сторон можно построить лишь в том случае, когда n — простое число вида 2^2к +1. Таким образом нарисовать трилистник или пятиконечную звезду можно, а вот нарисовать «правильный» семицветик уже не получится.

Теперь мы можем уже ответить и, например, на такой вопрос: можно ли построить циркулем и линейкой правильный 17-тиугольник и 15-тиугольник? Так, число 17 не является числом Ферма, значит и правильный 17-тиугольни построить нельзя, а так как 15 - число Ферма, то правильный 15-тиугольник построить можно.

Ну а дальнейшие построения орнамента уже не должны вызвать особенных затруднений: после того, как с помощью циркуля и линейки круг разделен на n равных секторов, в одном из них выполняется образец рисунка. Затем он повторяется и в остальных частях, поворачивая каждый раз на определенный угол.

С имметрия широко находит свое применение и в архитектуре, ведь привлекают взгляд не только причудливые формы строений, но и такие, которые симметричны относительно любой своей точки. Если мы встанем в центре здания и увидим, что слева от нас столько же окон и дверей, сколько и справа, то мы заключим, что находимся в центре симметрии. Причем симметрии, являющейся уже творением человеческих рук.

Л уи Пастер всю жизнь намеревался возвратиться к теме, с которой началась его научная деятельность, но так и не собрался. Пьер Кюри мечтал посвятить всего себя изучению одного вопроса, но так и не успел. Оба ученых собирались заняться симметрией природы. Симметрия природы настолько многогранна, что и в наше время в ней есть множество нерешенных вопросов, равно как и множество ученых разных направлений постоянно обращаются к ней: математики, биологи, искусствоведы, инженеры, философы, физики, астрономы и селекционеры.

Наш мир довольно-таки симметричен и симметрия играет важную роль: несимметричный стол не сможет стоять, с несимметричного стула вы попросту упадете, одежда несимметричного покроя, где один рукав длиннее другого будет неудобна. И часто считается, что появление чего-то несимметричного- это игра случая. Но биологи установили, что несимметричные молекулы более жизнеспособны, все процессы в них идет быстрее и активней. Так что впереди еще нас ждет масса открытий, в мире, где есть и симметрия, и несимметрия- в мире, в котором мы живем.