1. Цилиндрические винтовые линии

Одним из важных примеров применения геометрических понятий в технике и на практике является применение цилиндрической винтовой линии.

В технических приспособлениях, от самых распространенных до наиболее специальных, не обойтись без винтов, болтов, гаек, шурупов и т.д. Край резьбы у всех них – цилиндрическая винтовая линия (рис.14).

Рис.14

Цилиндрическая винтовая линия имеет одно удивительное геометрическое свойство – она может скользить вдоль самой себя. Так, прямой меч плотно, без зазора входит в прямые ножны, то же относится и к мечу, изогнутому в форме дуги окружности: его всегда можно вложить в ножны той же кривизны. Благодаря этому свойству прямые и окружности называют иначе самосовмещающимися кривыми. Существует и третья самосовпадающая кривая – это цилиндрическая винтовая линия, или цилиндрическая спираль. Это кривая, которая, закручиваясь вдоль поверхности цилиндра, пересекает все его образующие под одним и тем же углом.

Приведем одно из возможных способов построения винтовой линии.

В озьмем цилиндр и точку М на его поверхности (рис.15).

П

Рис.15

усть точка М двигается равномерно по окружности основания и одновременно также равномерно опускается вниз или поднимается вверх по образующей. В результате сложения этих двух равномерных движений точка М опишет некоторую кривую линию. Эта линия и есть цилиндрическая винтовая линия.

Рассмотрим практический способ получения винтовой линии. Возьмем прямоугольный бумажный треугольник и «навернем» его на карандаш (рис.16). Гипотенуза этого треугольника образует цилиндрическую винтовую линию. Получим правую винтовую линию, «навернув» на карандаш треугольник обращённой к нам поверхностью. Если же к карандашу будет прикасаться противоположная поверхность треугольника, то получим левую винтовую линию.

И

Рис.16

так, видим, что есть правая и левая цилиндрические винтовые линии. Большинство винтов, болтов, гаек имеют на своей поверхности правые винтовые линий. Если будем завинчивать такой винт, то это вращение будет происходить по часовой стрелке.

У цилиндрической винтовой линии есть еще одно важное свойство: она определяет кратчайший путь между точками A и B на поверхности цилиндра. Чтобы определить кратчайший путь между двумя точками A и B на поверхности цилиндра, развернем его боковую поверхность и соединим точки A и B отрезком прямой линии. Этот отрезок будет представлять некоторую часть винтовой линии и явится кратчайшим путем от точки A к точке B по поверхности цилиндра. Исключение составляют точки, расположенные на одной образующей цилиндра или на окружности, параллельной окружности основания.

Если развернуть на плоскости боковую поверхность цилиндра с нанесенной на ней винтовой линией, то винтовая линия изобразится в виде прямой линии.

В

Рулоны цилиндрической формы

округ нас есть множество примеров использования винтовой цилиндрической линии, а также её свойств. Так, в архитектуре, с помощью винтовой линии «сворачивают расстояния» винтовая лестница занимает в строении меньше места, собранную рожь укладывают в рулоны цилиндрической формы.

В

Самый большой в мире аквариум цилиндрической формы

инт, болт, гайка, сверло и многие другие предметы содержат на своей поверхности винтовые линии. Резец токарного станка при обработке цилиндрической детали, снимая стружку, описывает на ее поверхности винтовую линию. Наряду с цилиндрической винтовой линией рассматриваются так называемые винтовые цилиндрические поверхности. Их описывают дуги плоских кривых, которые, равномерно вращаясь вокруг оси, одновременно равномерно перемещаются вдоль неё же. Лопасть винта корабля, грубо говоря, является куском винтовой цилиндрической поверхности.