Лекция 1. Из истории геометрии

Если теорему так и не смогли доказать, она

становится аксиомой.

Евклид

Геометрия возникла очень давно, это одна из самых древних наук. Геометрия (греческое, от ge — земля и metrein — измерять) это, в первую очередь, наука о пространстве, ее значение определять размеры и границы частей пространства, которые в нем занимают различные телаРодиной геометрии считают обыкновенно Вавилон и Египет.

Возникновение геометрии всюду было связано с необходимостью измерять расстояния, участки на земле, объемы и веса продуктов, товаров. Однако точных сведений о познаниях египтян в области геометрии в настоящее время пока мы не имеем. Единственным первоисточником, дошедшим до нас, является папирус Ахмеса, который был им написан приблизительно в период между 2000 и 1700 г. до нашей эры.

Он содержит различного рода математические задачи и их решения; значительное большинство задач относится к арифметике, меньшая часть — к геометрии. Из геометрических задач можно назвать задачи измерения площади прямолинейных фигур и круга, причем площадь вычислялась для того времени довольно таки точно. Так, например, площадь равнобочной трапеции принималась равной произведению полусуммы параллельных сторон на боковую сторону. Также египтяне в эту пору уже знали, что углы прямоугольного треугольника определяются отношением катетов. Но как они пришли ко всем этим приближенным правилам, так и остается неизвестным.

Вавилонские математики умели делить окружность на 360⁰, точно воспроизводили прямые углы, умели вписывать в круг правильный шестиугольник. Можно сказать, что этот геометрический материал стал известен благодаря практическим потребностям при астрономических наблюдениях. Сами геометрические факты были получены, скорее всего, путем непосредственного наблюдения.

П оявление геометрии в Греции связано с именем Фалеса Милетского (конец VII в. до н. э.).

С

Фалес Милетский

читается, что Фалес первым сформулировал и доказал несколько геометрических теорем, а именно:

• вертикальные углы равны;

• имеет место равенство треугольников по одной стороне и двум прилегающим к ней углам;

• углы при основании равнобедренного треугольника равны;

• диаметр делит круг пополам;

• вписанный угол, опирающийся на диаметр, является прямым.

Фалес научился определять расстояние от берега до корабля, для чего использовал подобие треугольников. В основе этого способа лежит теорема, названная впоследствии теоремой Фалеса: если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают равные отрезки на одной его стороне, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Легенда рассказывает о том, что Фалес, будучи в Египте, поразил фараона Амасиса тем, что сумел точно установить высоту пирамиды, дождавшись момента, когда длина тени палки становится равной её высоте, и тогда измерил длину тени пирамиды.

Фалес в молодости много путешествовал по Египту, в результате общения многому научился у египтян, а, возвратившись на родину посвятил себя занятиям наукой, и открыл так называемую Ионийскую школу.

М

Египетская пирамида

ногие открытия Фалеса известны еще из школьных учебников геометрии, например, к ним относится теорема о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника, равенстве вертикальных углов и т. п. Дальнейшее развитие геометрии было определено быстро развивавшейся архитектурой, мореплаванием, необходимостью более точных исследований в области астрономии, физики, механики. Непосредственные задачи на измерение расстояния, постройки и возведения пирамид перестали у довлетворять возрастающим потребностям.

Необходимо было решать новые, более сложные задачи. Именно Ионийская школа придала теоретический характер геометрии, выделила ее как науку, в которой одно из ведущих мест начинает занимать абстрактная логика.

Дальнейшее развитие она получила в другой школе того времени – Александрийской школе, основателями которой были: Платон и Аристотель

Содержание геометрии того времени можно охарактеризовать уже другим термином – «метрическая геометрия». Стали появляться сочинения, в которых были сделаны попытки систематизировать накопленный материал. В основном, все они носили название «Начала геометрии». Из известных начал можно выделить «Начала» Прокла, Гиппократа Хиосого, Феодосии из Магнезии, и др. Ни одно из этих сочинений до нас не дошло, причем все они утратили свое значение и были забыты, когда появилось руководство по геометрии — «Начала» Евклида, жившего в конце IV — начале III в. до н. э.

Опираясь на труды своих предшественников, Евклид создал глубоко продуманную систему, сохранявшую руководящую роль в течение свыше двух тысяч лет.

Материал, содержащийся в «Началах», охватывает элементарную геометрию, как мы ее понимаем в настоящее время, именно поэтому учебники, по которым ведется первоначальное обучение геометрии, по существу, представляют собой переработку «Начал» Евклида. Геометрия строится Евклидом достаточно просто, в основном, с опорой на наглядность. Так, например, равенство фигур у Евклида означает, что они могут быть совмещены движением, неравенство — что одна фигура может быть целиком или частями вмещена в другую.

С

Нет царского пути в геометрию

Евклид

оставленные «Начала» дают систематическое изложение начал геометрии. Начала состоят из 13 книг (или глав), каждая посвящена отдельной теме. Например, первые 6 книг содержат изложение планиметрии, 3 книги - арифметике в геометрическом изложении. Каждая книга начинается с определения всех тех понятий, которые в ней встречаются. Например: «Точка есть то, что не имеет частей», « Линия есть длина без ширины», « Границы линии суть точки», и так далее. Затем Евклид приводит предложения, принимаемые без доказательства, которые он разделяет на постулаты и аксиомы. В чем отличается аксиомы от постулатов, так и остается неясным. Для сравнения приведем постулат: «Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую». Пример аксиомы: «Равные порознь третьему равны между собой».

Затем Евклид излагает теоремы геометрии, располагая их в такой последовательности, чтобы каждую теорему можно было доказать, пользуясь только предложениями, постулатами и аксиомами, то есть приведенными ранее утверждениями.

Заслуга Евклида, в первую очередь в том, что он первым поставил задачу обоснования геометрии, то есть перечисления определений и аксиом, на основе которых можно развивать геометрию строго логическим путем. Для его времени логическое построение геометрии было проведено достаточно точно, но с точки зрения современной математики оно имеет и недостатки. Например, многие определения неясны, в ряде случаев определение включает такие понятия, которые также должны быть определены, но это не сделано. Например, «Линия есть длина без ширины» - что именно стоит понимать под понятием «ширина»?

Т

Виет

акже многие утверждения он принимает без доказательства, хотя, несмотря на наглядную очевидность этих фактов, они должны быть доказаны. Например, утверждение о том, что прямая, проходящая через внутреннюю точку окружности, пересекает эту окружность, в школьном курсе геометрии непременно требует доказательства.

После Евклида на протяжении многих веков никто не добавил что-нибудь существенного по сравнению с тем, что было сделано Евклидом. Но все это время особое место занимали исследования, связанные с V постулат Евклида, его то пытались убрать вообще из построения геометрии как ненужный, то видоизменить его содержание. Многочисленные доказательства V постулата привели к весьма интересным результатам, о которых будет сказано позже.

Дальнейшее развитие геометрии связано с именем Архимеда.

Этот период получил название эпохи великих геометров (или второй Александрийский период). Задачу, которую Евклид, обходил, — измерение, — Архимед поставил во главу угла. Заслуга Архимеда заключалась в том, что он установил теоретические основы, на которых покоится машиностроение, — он фактически создал основы механики. Механика требовала вычисления масс, а, следовательно, площадей и объемов, центров тяжести. Необходимость такой геометрии опять же можно объяснить прикладным направлением. Учение Архимеда существенно отличается от геометрии Евклида, но в своем изложении он придерживается системы построений геометрии Евклида.

П оследовавшая затем гибель античной культуры, привела к глубокому упадку научной мысли, продолжавшемуся около 1000 лет, до эпохи Возрождения. Это не значит, однако, что математика в этот период совершенно заглохла. В условиях быстро развивавшейся торговли, мореплавания и городского строительства стала развертываться арабская наука, в которой математика играла очень важную роль. Впервые сочинения многих греческих геометров, в том числе и Евклида, были переведены на арабский язык. Однако математические интересы арабов в большей степени были сосредоточены на арифметике и алгебре.

Позже, в XVI в. появляются зачатки современной алгебры. В этой связи можно отметить имя Виета, которому принадлежат первые приложения алгебры к геометрии – Виет дает общие методы построения неизвестного отрезка с помощью циркуля и линейки.

В эпоху Возрождения зародилась и так называемая изобразительная геометрия. В XVII в. два гениальных французских математика, Ферма и Декарт, почти одновременно выдвигают идеи, приведшие к новому и очень широкому расцвету геометрической мысли.

П

Ферма

оявляется метод, дающий возможность выразить соотношения, которыми определяются геометрические объекты, при помощи уравнений, связывающих координаты его точек. Первое же систематическое изложение аналитической геометрии как целого дал Эйлер во втором томе своего «Введения в анализ бесконечных».

С именем французского математика Монжа связано появление именно начертательной геометрии, или, как ее правильнее называют немцы, изобразительной геометрии.

Задача изобразительной геометрии определяется в графическом воспроизведении образа заданного объекта, по которому можно было бы с точностью воспроизвести геометрические формы этого объекта. Ни одна отрасль геометрии не возникла так непосредственно из практических задач, как изобразительная геометрия. Стоит отметить, что первые систематические шаги в области изобразительной геометрии были сделаны еще в древности, римским зодчим и инженером Витрувием.

Однако его идеи не оказали большого влияния на развитие изобразительной геометрии, и она заново начала строиться именно в эпоху Возрождения. В этот период велика роль трех выдающихся представителей этой эпохи – итальянец Леонардо да Винчи (1452—1519), немецкий художник Дюрер (1471 —1528) и французский архитектор, инженер и математик Дезарг (1593—1662).

Художника Дюрера привлекали геометрия и теория перспективы. Всё творчество Дюрера проникнуто математикой. Об этом говорит не только геометрическая правильность изображения пространства и подчёркнутая соразмерность фигур и предметов на его картинах, гравюрах и рисунках, но и рассуждения в его печатных трудах, дневниках и письмах.

Велика и заслуга Монжа – он свел весь материал, собранный в применении к многообразным отдельным объектам, в стройную систему, названную начертательной геометрией Монжа. И по сей день преподавание начертательной геометрии ведется по его руководству.

В

Монж

рамках начертательной геометрии выделилась одна из ее областей – проективная геометрия (или математическая основа черчения). В проективной геометрии не различают параллельные и пересекающиеся прямые, так как считается, что параллельные прямые тоже пересекаются, но просто в очень удаленной точке. Параллельные плоскости также пересекаются по удаленной прямой, которая у живописцев является линией горизонта. С помощью основ проективной геометрии живописцы Возрождения пытались изображать на плоскости объемные предметы так, как их видит глаз человека, создавая тем самым иллюзию пространства.

XIX век принес с собой глубокий переворот в содержании геометрии, в ее методах, наиболее характерной чертой новой геометрии стала ее алгебраизация. Но сам алгебраический метод был несовершенен, имел противоречия, не позволявшие решить любую геометрическую задачу, используя алгебру. К тому же при решении геометрических задач, выводе формул в цепи уравнений и алгебраических выкладок теряются наглядность, характеризующая изучаемый объект. Уже становится сложно в череде формул, записей увидеть геометрическую фигуру, тело, объяснить для какой цели производятся порой громоздкие расчеты.

В

Гильберт

1990 году Давидом Гильбертом на II Международном Конгрессе математиков в Париже был представлен список из 23 кардинальных проблем математики. Тогда эти проблемы, охватывающие основания математики, алгебру, теорию чисел, геометрию, топологию, алгебраическую геометрию, и многое другое, не были решены. На данный момент решены 16 проблем из 23. Ещё 2 не являются корректными математическими проблемам, так как одна сформулирована слишком расплывчато, чтобы понять, решена она или нет, а другая, скорей всего, является проблемой физики, а не математики. Из оставшихся 5 проблем две не решены никак, а три решены только для некоторых случаев.

Сам Гильберт как математик-геометр известен еще тем, что, подобно Евклиду, он попытался построить строгую систему оснований геометрии. Книга Гильберта «Основания геометрии», вышедшая в 1899 году сыграла большую роль в этой серии исследований. В ней впервые был дан список аксиом, достаточный для логического построения геометрии. Именно с «Оснований геометрии» начинается современный аксиоматический метод в геометрии.

В XIX же веке, наконец, закончились многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида. В результате появилась новая геометрия, ничуть не уступающая по значимости Евклидовой, но отличающейся от нее тем, что в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется неевклидовой, а в России носит имя Николая Ивановича Лобачевского, который впервые опубликовал работу с ее изложением. В 1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных аксиом геометрии Евклида, о чем сделал на заседании факультета казанского университета доклад, в котором были изложены начала открытой им «воображаемой геометрии». В течение многих лет преподавательской деятельности Н.И. Лобачевский настойчиво пытался доказать V постулат. Неудачи этих попыток и попыток многих его предшественников привели к выводу, что V постулат не может быть выведен из остальных постулатов. Чтобы доказать это, Н.И. Лобачевкий построил новую геометрию (называемую им воображаемой), в которой, сохранил все основные посылки Евклида, но V постулат заменил противоположным допущением. В результате он пришел к выводу, что эта логическая схема представляет собой совершенно новую геометрию, которая может быть развита так же успешно, как и геометрия Евклида. Открывая все новые и новые факты, Лобачевский не встретил в своей геометрии каких-либо явных противоречий, а также впоследствии решил проблему непротиворечивости этой геометрии.

В

А.Пуанкаре

ысоко оценил «Геометрические исследования» Гаусс, который еще с 90-х годов XVIII в. занимался теорией параллельности линий и пришел к тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды по этому вопросу Гаусс не публиковал, они сохранились только в его черновых записках и в немногих письмам к друзьям. Независимо от Лобачевского и Гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел венгерский математик Янош Бояи (1802-1860). Полное название труда Я. Бояи – «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)» и его обычно коротко называют просто «Аппендикс».

В первой четверти XX в. представленные идеи получили новое развитие. Из многообразных идей, в XX в. складывается особая дисциплина — топология. Простейшие идеи топологии возникают из непосредственного наблюдения за окружающим миром, именно поэтому точно назвать период ее возникновения.

Т

Математика - это искусство называть разные вещи одним и тем же именем

А. Пуанкаре

опология - это геометрия, в которой нет места понятиям расстояние, форма, угол. Линия не бывает здесь прямой или кривой - это просто линия. Поверхность не может быть вогнутой или выпуклой, или плоской - это бессмысленные для топологии слова. Но зато топология различает отрезок и замкнутую линию - это для нее разные объекты. Первые важные наблюдения и точные топологические соотношения были найдены ещё Эйлером, Гауссом и Риманом. Но, как раздел науки топология была основана в конце 19 века А. Пуанкаре.

Дальнейшее развитие геометрии связано с векторно-моторным методом, применяющимся в строительной механике, машиностроении. Был также поставлен вопрос о геометризации физики. В этой связи можно упомянуть имя Минковского, который на основании теории Эйнштейна построил новую геометрию, называемую его именем.

Особенность представленной геометрии заключается в том, что мироздание, во всей его извечной динамике, рассматривается как некое многообразие, элементы которого определяются четырьмя координатами. Это, в первую очередь, дает возможность выразить процессы конечные во времени и пространстве.

Н

Минковский

аряду с проективной и неевклидовой геометриями, в начале девятнадцатого века возникла геометрическая дисциплина, применявшая методы приложений дифференциального и интегрального исчислений к геометрии. Она получила название дифференциальной геометрии.

В течение всего XIX века она изучала, в основном, свойства поверхностей в малых окрестностях произвольно данной точки. Лишь позже стали изучаться свойства поверхности во все других ее точках, тем самым характеризуя поверхность в целом.

Из работ, отражающих основные исследования в области дифференциальной геометрии можно назвать работы Б. К. Млодзеевского, С. П. Финикова, С. С. Бюшгенса, Кон-Фоссена, П. С. Урысона и других. По числу работ, посвященных многомерной дифференциальной геометрии и связанному с ней тензорному анализу эта часть геометрии оказалась на первом месте. Многомерной дифференциальной геометрией занимались В. Ф. Каган, П. А. Широков, П. К. Рашевский, Д. И. Перепелкин, А. Н. Колмогоров.

М

Своеобразие геометрии, выделяющее её среди других разделов математики, да и всех наук вообще, заключается в неразрывном органическом соединении живого воображения со строгой логикой. А.Д. Александров

ожно назвать и много других замечательных математиков – А.Д. Александрова, П.С. Урысона, Л.С. Понтрягина — для перечисления всех фамилий не хватит и страниц в книге. Может, чьи-то имена еще не известны, поскольку они являются начинающими учеными. Какие-то области геометрии еще только начинают развиваться, и не известно, какие открытия в области этой удивительной науки еще ждут нас. Чьи-то имена мы не упомянули, но это не значит, что забыта их роль и значение