Лекция 6. Многогранники

Многогранные формы в нашей жизни мы встречаем повсюду: спичечный коробок, книга, пакет молока в виде пирамиды, граненный карандаш, да и многие архитектурные сооружения или их детали представляют собой некоторые виды многогранников. С чисто геометрической точки зрения, многогранник – это часть пространства, ограниченная плоскими многоугольниками, называемыми гранями. Для выпуклого многогранника, то есть такого, который лежит по одну сторону от плоскости любой его грани, справедлива формула Эйлера, устанавливающая зависимость между числом ребер Р, граней Г и вершин В-Р+Г=2. Это число называется иначе эйлеровой характеристикой многогранника и может равняться 2, 0, -2,-4, ….Эйлерова характеристика показывает, грубо говоря, сколько «дырок» имеет многогранник.

Так называемые правильные многогранники изучаются в топологии, они еще иначе называются топологически правильными и для них всегда число Эйлера равно двум. Перечислим их: тетраэдр, октаэдр, икосаэдр, гексаэдр, додекаэдр – всего пять топологически правильных многогранников.

Еще со времен древнегреческих философов правильные многогранники считались не более чем игрушкой для математиков, которая не имеет никакого практического значения. Однако, в последнее время многогранники заняли свое достойное место в науке и оказались в центре внимания биологов, так, выяснилось, например, вирус полиомиелита представляет собой икосаэдр.

Из школьного курса геометрии известно, что многогранник называется правильным, если у него все грани правильные равные многоугольники, и все двугранные углы равны.

Правильными многогранниками занимались Пифагор и его ученики. Пифагорейцы считали правильные многогранники божественными фигурами и использовали в своих философских сочинениях: первоосновам бытия - огню, земле, воздуху, воде придавалась форма соответственно тетраэдра, куба, октаэдра, икосаэдра, а вся Вселенная имела форму додекаэдра. Позже учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах другой древнегреческий ученый, философ - идеалист Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами. В идеалистической картине мира, данной Платоном, четыре из них олицетворяли четыре стихии: тетраэдр- огонь, куб – землю, икосаэдр – воду и октаэдр - воздух. Пятый же многогранник, додекаэдр, символизировал все мироздание, его по латыни называли «пятая сущность». Придумать правильный тетраэдр, куб, октаэдр, по видимому, было нетрудно, тем более что эти формы имеют природные кристаллы, например, куб – монокристалл поваренной соли.

Итак, существует всего пять видов правильных многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр, икосаэдр (рис.23).

Рис.23

Почему правильные многогранники получили такие имена? Это связано с числом их граней. Тетраэдр имеет 4 грани, в переводе с греческого "тетра" - четыре, "эдрон" - грань. Гексаэдр (куб) имеет 6 граней, "гекса" - шесть; октаэдр - восьмигранник, "окто" - восемь; додекаэдр - двенадцатигранник, "додека" - двенадцать; икосаэдр имеет 20 граней, "икоси" - двадцать.

Пусть АВСВА₁В₁С₁D₁ – известный всем нам куб, или иначе, гексаэдр (рис 24). Точки А, В₁, С, D₁ не лежат в одной плоскости, поэтому являются вершинами некоторого тетраэдра Т. Поверхность этого тетраэдра образована четырьмя равными правильными треугольниками, так как стороны этих треугольников являются диагоналями граней куба. Многогранные углы при вершинах тетраэдра Т имеют одно и то же число граней (три). Отсюда мы заключаем, что Т правильный тетраэдр.

Рис.24

Из того же куба можно получить следующий правильный многогранник. Найдем центр каждой грани куба и соединим их отрезками. Этот многогранник называется правильным октаэдром.

При построении правильного икосаэдра заметим, что сколько у куба ребер, столько граней имеет икосаэдр. Данная взаимосвязь подсказывает способ построения: необходимо провести через каждую грань куба некоторую плоскость, которые затем повернуть не необходимый угол для того, чтоб эти все плоскости пересеклись. Если все выполнено верно, то все грани построенного икосаэдра — равные правильные треугольники, а многогранные углы при вершинах имеют одно и то же число граней — пять. Таким образом, построенный икосаэдр правильный.

Д ля построения правильного додекаэдра используют правильный икосаэдр. Нетрудно видеть, что центры граней правильного икосаэдра F служат вершинами правильного додекаэдра.

Рис.25

Таким образом, из одного правильного многогранника можно получить все остальные, используя их особенности. Это наводит на некоторую взаимосвязь, которая называется двойственностью.

Так, например, гексаэдр и тетраэдр обладают следующей особенностью: число вершин одного равно числу граней другого; оба тела имеют одинаковое число ребер; в вершине одного тела сходится столько граней, сколько вершин имеется у грани другого тела (рис.25). Поэтому можно также описать октаэдр вокруг куба.

Аналогичные соотношения имеют место между додекаэдром и икосаэдром. В этом случае говорят, что имеет место принцип двойственности, рассмотренный в проективной геометрии.

Принцип двойственности в пространстве даёт более общий метод приведения в соответствие точек, прямых и плоскостей одной фигуры с плоскостями, прямыми и точками другой фигуры. Поэтому принципу двойственности куб соответствует октаэдру, а октаэдр – кубу; икосаэдр—додекаэдру и додекаэдр – икосаэдру, а тетраэдр—самому себе.

Особенностью правильных многогранников, помимо свойства взаимности и двойственности, является наличие у них элементов симметрии.

Так как куб — частный случай параллелепипеда, то его диагонали пересекаются в одной точке. Эта точка равноудалена от всех вершин куба, от его граней и от его ребер и является центром трех сфер: описанной сферы, проходящей через вершины, вписанной сферы, касающейся всех граней, и сферы, касающейся всех его ребер. Общий центр этих сфер называется центром куба.

Центр куба является также и центром симметрии куба. У правильного тетраэдра его центр (совпадающий с центром вписанной в тетраэдр сферы и центром сферы, касающейся его ребер) не является центром симметрии.

Для правильного октаэдра его центр также является центром трех сфер — описанной, вписанной и касающейся всех ребер. Аналогичное утверждение имеет место и для правильного икосаэдра. К тому же центр икосаэдра является центром его симметрии.

Центр правильного икосаэдра F является и центром правильного додекаэдра (т. е. общим центром трех сфер: описанной, вписанной и сферы, которая касается ребер додекаэдра).

Другие элементы симметрии, встречающиеся у многогранников, это плоскость симметрии, ось симметрии. В отличие от школьного понятия оси симметрии, новый вид оси немного усложняется, в соответствие с эти выделяют зеркально-поворотные оси симметрии, а также оси симметрии различного порядка. Порядок оси, как было показано ранее, означает число самосовмещений фигуры при повороте вокруг оси.

Зеркально-поворотная ось симметрии – это совокупность оси и перпендикулярной к ней плоскости симметрии, действующих совместно.

Для наглядности приведем элементы симметрии у куба.

К уб имеет три оси симметрии четвертого порядка, проходящие через центры параллельных граней. Каждая из этих осей является зеркально – поворотной осью четвертого порядка. Куб имеет четыре оси симметрии третьего порядка, содержащие диагонали. Каждая из этих осей является зеркально-поворотной осью шестого порядка. Куб имеет шесть осей симметрии (второго порядка). Каждая из них проходит через середины двух ребер куба, принадлежащих его диагональному сечению.

К

Кристалл поваренной соли

уб имеет девять плоскостей симметрии. Шесть из них содержат по две диагонали куба, а каждая из остальных трех проходит через центр куба параллельно двум параллельным граням. Все указанные элементы симметрии показаны на рисунке 26.

П

Рис.26

равильные многогранники – самые выгодные фигуры. Удивительно разнообразен мир кристаллов, являющихся природными многогранниками. Но, кроме формы правильных многогранников, многие кристаллы имеют форму просто многогранника (кварц, исландский шпат, пирит, гранат, алмаз) Так, кристаллическая решетка поваренной соли имеет кубическую структуру.

С келет одноклеточного организма феодарии (Circogonia icosahedra) по форме напоминает икосаэдр.

Б

Феодария

ольшинство феодарий живут на морской глубине и служат добычей коралловых рыбок. Но простейшее животное защищает себя двенадцатью иглами, выходящими из 12 вершин скелета. Он больше похоже на звёздчатый многогранник.

Из всех многогранников с тем же числом граней икосаэдр имеет наибольший объём при наименьшей площади поверхности, то свойство помогает морскому организму преодолевать давление толщи воды.

Еще одним примером могут служить пчелы, которые строят шестиугольные соты. Из правильных многоугольников с одинаковой площадью наименьший периметр именно у правильных шестиугольников, то есть, мудрые пчелы так экономят воск во время постройки сот.

Среди многогранников особо выделяются и звездчатые многогранники.

З

Звездчатые многогранники

вёздчатый многогранник — это выпуклый пирамидальными формами многогранник. Звёздчатые формы делятся на неправильные многогранники (подавляющее большинство) и полуправильные, именуемые в дань исследовавшим их математикам "телами Кепплера-Пуансо".

М ногогранники из-за их необычных свойств симметрии исследуются с древнейших времён. Формы многогранников широко используются в декоративном искусстве, в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений и в архитектуре.