Лекция 2. Линии и поверхности второго порядка

В конце концов, окружность

бесконечно большого круга

и прямая линия - одно и то же.

Г. Галилей

1. Линии второго порядка

Методы аналитической геометрии позволяют без особых трудностей изучать и исследовать свойства кривых, которые обычно не рассматриваются в стандартных учебниках планиметрии. В первую очередь, это кривые второго порядка. Но немалый интерес представляют и кривые высших порядков.

Еще в 17 веке было известно, что планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической. Еще позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижению второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли.

Кривые нашли широкое применение и в современной технике. Например, кривые второго порядка применяются в создании спутниковых тарелок и прожекторов. Овалы Кассини – кривые четвертого порядка – используются в качестве математической модели при исследовании формообразования мягких оболочек.

Кривые поверхности также широко применяются в различных областях науки и техники при создании очертаний различных технических форм или как объекты инженерных исследований.

Например, поверхности второго порядка применяются в качестве примитивов компьютерной графики в силу своей схожести во многих случаях с поверхностями реальных объектов. Поверхности высших порядков используются при обнаружении и исследовании зон новейших движений земной коры.

Л

Арка над мостом

инии занимают особое положение в геометрии. Используя линии, можно создать наглядные модели многих процессов и проследить их течение во времени. Линии позволяют установить и исследовать функциональную зависимость между различными величинами.

С помощью линий удаётся решать многие научные и инженерные задачи, решение которых аналитическим путём часто приводит к использованию чрезвычайно громоздкого математического аппарата. Линии широко используются при конструировании поверхностей различных технических форм, в дизайнерских проектах.

Однако эти научные знания нашли применение лишь в XVII, когда стало известно, что, например, планеты движутся по эллиптическим траекториям, а пушечный снаряд летит по параболической траектории. Еще позже стало известно, что если придать телу первую космическую скорость, то оно будет двигаться по окружности вокруг Земли, при увеличении этой скорости — по эллипсу, а по достижению второй космической скорости тело по параболе покинет поле притяжения Земли. Современному человеку необходимо знать и представлять, что такое кривые второго порядка. В окружающем нас мире линии второго порядка встречаются практически всюду.

Начнем с того, что простейшей кривой является прямая, которую можно определить либо как кратчайший путь между двумя точками, либо как линию пересечения двух плоскостей, либо как ось вращения.

Следующий - в порядке возрастания сложности – кривой является окружность. Окружность определяется как кривую, все точки которой отстоят на равном расстоянии от данной точки. Окружность можно получить построением при помощи циркуля и линейки. Для этого берется нитка, на одном конце которой закрепляем карандаш, а второй конец фиксируем в некоторой точке. Проводя карандашом линию, при условии натянутости нити, получаем окружность.

С

Рис.1

амо построение наглядно показывает, что окружность есть замкнутая, на всём протяжении выпуклая кривая; поэтому через каждую точку окружности можно провести определённую прямую – касательную, имеющую с окружностью только одну общую точку, точку касания, а в остальной части лежащую целиком вне окружности. (Рис.1)

Само собой напрашивается обобщение построения окружности, а именно: если закрепить нить не в одной, а в двух точках, то мы получим кривую, похожую на окружность, называемую эллипсом.

Обе точки закрепления нити называются фокусами эллипса. Построение с помощью нити показывает, что основной особенностью эллипса является тот факт, что сумма расстояний от любой точки эллипса до каждого из фокусов, есть величина постоянная, то есть Для эллипса, представленного на рисунке 2, это может быть одна из сумм В этом случае фокусы – это точки А и В.

Е

Рис.2

сли эти две точки мы сблизим, тем самым получив одну, то получим окружность как предельный случай эллипса. Поэтому свойства окружности, в основном, справедливы и для эллипса. Эллипс также замкнут, всюду выпуклый и имеет в каждой своей точке касательную, которая, за исключением точки касания, целиком лежит вне эллипса. Отличие только в том, что радиус не перпендикулярен к касательной.

Уравнение , определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

П

Всякий знает, что такое кривая, пока не выучится математике настолько, что вконец запутается в бесконечных исключениях

Феликс Клейн

остроение другой линии второго порядка – гиперболы, и ее конструктивное определение, не так просты, но принцип построения тот же, что и для эллипса.

Если у эллипса мы находили сумму некоторых расстояний, то естественно предположить, что может существовать кривая, для которой той же особенностью будет обладать разность. Но так как расстояние – величина положительная, возьмем эту разность под знак модуля. Для гиперболы модуль разность расстояний её точек от двух неподвижных точек есть также величина постоянная. Неподвижные точки называются фокусами гиперболы, на рис. 3 это точки F₁ и F₂. Для каждой точки гиперболы должно удовлетворяться соотношение Как известно из школьного курса алгебры, гипербола состоит из двух отдельных ветвей.

Вид гиперболы наглядно показывает, что кривая эта всюду выпукла и имеет касательную во всякой точке. В случае гиперболы касательная к кривой имеет с этой кривой только одну общую точку – именно точку прикосновения. Итак, гиперболой называется геометрическое место точек, для которых модуль разности расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина.

У

Рис.3

равнение , определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, гипербола есть линия второго порядка.

И, наконец, третья линия второго порядка – классическая парабола.

П араболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой l, называемой директрисой (рис.4).

Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от фокуса до директрисы—буквой p. Величину р называют параметром параболы.

у

Рис. 4

²=2рх - это уравнение называется каноническим уравнением параболы. Уравнение, определяющее параболу в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка.

Линии второго порядка не ограничиваются только этими тремя. Существуют и другие, так называемые мнимые (неопределенные) и вырожденные (преобразованные) линии второго порядка. К ним относятся: мнимый эллипс + =-1, пара пересекающихся прямых х²-k²y²=0, пара мнимых пересекающихся прямых х²+k²y²=0, пара параллельных прямых y²=a^{2 (}y=a и y= -a), пара совпадающих прямых, y²=0, кривая, не содержащая ни одной точки x²+y²=-1 и точка x²+y²=0.

И

Рис. 5

зучение линий второго порядка – один из немаловажных аспектов развития геометрии и всей математики. Линии второго порядка взаимосвязаны с поверхностями второго порядка, поскольку каждая линия является коническим сечением ПВП.

И, в заключение, несколько слов о кривых высших порядков. Так, например, если при построении уравнения эллипса и гиперболы мы пользовались особым свойством точек, то, рассуждая по аналогии, можно предположить, что существует и кривая, для которой произведение расстояний каждой ее точки до двух заданный точек, постоянно (такая кривая называется лемниската Бернулли) – рис 5. Это название принадлежит швейцарскому математику Якобу Бернулли (1654- 1705). В античном мире так называли бантик, с помощью которого прикрепляли венок к голове победителя на спортивных играх. Лемниската имеет уравнение .

П

Рис. 6

остроение другой кривой высшего порядка еще более просто. Возьмите два равных кружочка, вырезанных из фанеры (можно взять две одинаковые монеты). Один из этих кружочков закрепите. Второй приложите к первому, отметьте на краю его точку A, наиболее удаленную от центра первого кружка. Затем как бы катите без скольжения подвижный кружочек по неподвижному и наблюдайте, какую линию опишет точка A. Она называется кардиоидой. Такое название она получила из-за сходства с сердцем (греческое слово "кардио" означает сердце). В технике эта кривая часто используется для устройства кулачковых механизмов. Кардиоида задается уравнением . Обе рассмотренные кривые принадлежат классу кривых четвертого порядка.