Приложение

Лабораторная работа 1. Кривые второго порядка

Из школьного курса геометрии вам уже известна одна из кривых второго порядка – это окружность.

Задание 1. Вспомните, как можно построить окружность без помощи циркуля и линейки, имея только нитку произвольной длины?

Задание 2. Закрепите нить не в одной, а в двух точках, то какая кривая при вычерчивании у вас получится? Обе точки закрепления нити называются фокусами.

Задание 3. Какую особенность можно выявить у эллипса при построении с помощью нити?

Задание 4. Пользуясь полученным конструктивным определением эллипса, найдите его уравнение. Для этого обозначьте координаты фокуса F₁ (—с; 0) и F₂ (с; 0), М(х,у) – координаты произвольной точки эллипса, а сумму расстояний примите равной 2а.

Задание 5. Кроме рассмотренной линии, существуют и другие кривые второго порядка. Вспомните, какие? Запишите их уравнения. Предложите свои способы их построения.

Задание 6. Вырежем два одинаковых картонных круга. Один из них закрепим неподвижно. Второй приложим к первому, отметим на его краю точку А, наиболее удаленную от центра первого круга. Прокатим без скольжения подвижный круг по неподвижному и наблюдайте, какую линию опишет точка А? На что она похожа? Полученная линия называется кардиодида.

Задание 7. По прямой без скольжения прокатите круг. Изучите траекторию, которую опишет точка А, взятая на окружности этого круга. Эта траектория получила название циклоиды.

Задание 8. Возьмем кусок картона и вырежем в нем круг радиуса 12 см. Из того же материала вырежем три круга радиусами 4 см, 3 см и 2 см. Положим кусок картона с вырезанным в нем отверстием на лист бумаги, вложим в этот вырез первый из трех кругов, чтобы он касался края, и отметим на окружности этого кружка точку А. Исследуйте, какую линию опишет отмеченная точка, когда кружок покатится по окружности выреза без скольжения. Выполним то же и с другими кружками. В каждом случае получится линия, которая называется гипоциклоида. Опишите, во что превратится гипоциклоида, если радиус меньшего круга равен 6 см, а большего -12 см?

Задание 9. Сделайте из плотной бумаги, свернув ее в несколько раз, трубочку. Разрежьте эту трубочку наклонно. Если трубочку не разворачивать, то какая фигура будет в сечении? Какую линию образует разрез, если развернуть одну из частей трубочки? Перерисуйте эту линию на бумагу.

Лабораторная работа 2. Равновеликость и равносоставленность

Задание 1. Нарисуйте на листе бумаги произвольный параллелограмм. Возможно ли данный параллелограмм разрезать на такие части, из которых можно сложить другой параллелограмм с таким же основанием и высотой.

Задание 2. Существует ли возможность перекроить крест в квадрат. Представьте на листе бумаги.

Задание 3. Нарисуйте на листе бумаги произвольный треугольник и разрежьте его на такие части, из которых можно сложить другой треугольник с таким же основанием и высотой.

Задание 4. Выбранный вами прямоугольник разрезать на такие части, из которых можно было бы составить равновеликий квадрат.

Задание 5. Данный треугольник разрезать на такие части, из которых можно было бы составить равновеликий квадрат.

Лабораторная работа 3. Элементы топологии

У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен аудитории, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Пример листа Мёбиуса показывает, что может. Лист Мёбиуса очень легко сделать, подержать в руках, разрезать, поэкспериментировать как-нибудь еще. Подготовьте достаточное количество бумажных лент, с которыми будут проводиться эксперименты. Хороши ленты, у которых длина примерно в 4 раза больше ширины. При разрезании листов Мёбиуса, склеенных из более узких лент, получатся слишком тонкие "кольца". Удобнее использовать полоски длиной примерно 30см и шириной 3см.

Возьмите бумажную ленту АВСD, разделенную по ширине пополам пунктирной линией и приложите ее концы АВ и СD друг к другу, склейте их. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой D, а точка B с точкой С. Перед склейкой перекрутите ленту один раз. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо - "Лист Мёбиуса".

Сколько сторон у листа Мёбиуса? У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона!

Попробуйте покрасить одну сторону листа Мёбиуса - кусок за куском, не переходя за край ленты. Вы закрасите весь лист Мёбиуса! "Если кто-нибудь вздумает раскрасить "только одну" сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее всю в ведро с краской"- пишут Рихард Курант и Герберт Робинс в превосходной книге "Что такое математика".

Задание 1.

Представьте, что буквы русского алфавита сделаны из мягкой проволоки и перечислите топологически родственные буквы, то есть такие, из которых можно получить другие буквы, ничего не разрезая и не склеивая (проволоку можно гнуть и растягивать).

Задание 2.

Возьмем нами приготовленный лист Мёбиуса и разрежем склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Результаты эксперимента занести в таблицу.

В графе «свойства» записывать специфику полученного кольца – число перекручиваний, его длина (больше, меньше исходного, равно ему). В графе «результат разрезания» указывать, сколько колец в результате получилось.

Число перекручиваний	Результат разрезания	Свойства
0
1
2
3

Задание 3.

В предыдущем задании Вами лист Мёбиуса был разрезан посередине, вдоль пунктирной линии. В результате получилось одно кольцо, вдвое уже, но зато вдвое длиннее. Разрежем это кольцо еще раз посередине. Что получится в результате опыта? Опишите.

Задание 4.

а) На обеих сторонах ленты на равном расстоянии от краев провести по две пунктирные линии. Склеить лист Мёбиуса. Разрезать по пунктирным линиям. Описать полученный результат.

Дайте прогноз для подобного эксперимента, но когда лента не была перекручена.

б) Приготовьте ленту шириной 5 см, на которой нанесите пунктир, отступив от края на 1 см, 2 см, 3 см и 4 см. Сделайте из неё лист Мёбиуса. Что получится, если разрезать его по пунктиру?

Задание 5.

Кроме листа Мебиуса, в топологии определены и другие объекты. Попробуйте склеить макет тора. Как и лист Мебиуса, тор можно разрезать разными способами. Разрезая тор разными способами, трудно заранее предугадать результат. Выполните несколько разрезаний и опишите полученные результаты.

Задание 6.

Попытайтесь выполнить макет еще одного, более сложного топологического объекта –бутылки Клейна. Перегните квадрат пополам и соедините клейкой лентой его стороны, на рисунке обозначенные точечками. На обращенной к вам половине квадрата сделайте прорезь, перпендикулярную склеенным сторонам. Расстояние между прорезью и верхним краем трубки должно быть равно примерно четверти стороны квадрата. Эта прорезь соответствует "отверстию" в стенке бутылки Клейна на стеклянной модели. Согнув модель пополам вдоль пунктирной прямой А, протащите нижний край трубки сквозь прорезь и склейте друг с другом верхнее и нижнее основания трубки. Правда, там, где поверхность самопересекается в модели есть прорезь, но легко представить себе, что края этой прорези соединены так, чтобы поверхность во всех своих точках была непрерывна и не имела края.

Разрезая бумажную модель разными способами, можно с легкостью демонстрировать многие удивительные свойства бутылки Клейна. Так, например, разрезав бутылку пополам вертикальной плоскостью, получите два листа Мебиуса, переходящих друг в друга при зеркальном отражении. Предложите, если сможете, другие способы разрезания бутылки Клейна. Опишите полученные результаты.

Задание 7.

Каждый из рассмотренных топологических объектов обладает различными или схожими свойствами. Среди таких свойств выделяют наличие или отсутствия края у объекта и свойство одно- или двусторонности. Заполните нижеприведенную таблицу:

Название объекта	Число сторон	Наличие края
Плоскость (обычная)
Цилиндр
Лист Мебиуса
Тор
Проективная плоскость
Бутылка Клейна