Глава 2. Линейная алгебра.

§1.Матрицы. Общие понятия.

Опр. Матрицей А размера называется совокупность чисел, расположенных в виде таблицы из m строк и n столбцов.

Обозначения:

A_mxn; A=( a_{i j} ), где a_{i j} – элемент матрицы;

i=1,…,m – номер строки (i= );

j=1,…,n – номер столбца (j= ).

Замечание. Будем рассматривать числовые матрицы. Если a_ij – функции (или векторы), то имеем функциональную (векторную) матрицу.

Если m n , то матрица называется прямоугольной.

Если m=n , то матрица называется квадратной.

– квадратная матрица порядка n.

Если m=1, то матрица состоит из 1-ой строки

(а₁ , а₂ ,…, а_n) – матрица-строка.

Если n=1, то матрица состоит из 1-го столбца

– матрица-столбец.

Примеры: – прямоугольная матрица размером 3х4;

– квадратная матрица 2-го порядка;

– матрица-строка 1х4;

– матрица-столбец 3х1.

Опр. Матрица, получаемая из данной матрицы А путем замены строк на столбцы и наоборот называется транспонированной и обозначается А* или А^T.

Если А= , то А называется симметричной.

Виды квадратных матриц (частные случаи):

1. Квадратная матрица, у которой все элементы a_ij=0, называется нулевой матрицей

.

2) Квадратная матрица вида:

– называется диагональной.

3) Если ₁= ₂=…..= _n =1 то получим матрицу

– которая называется единичной.

4) Квадратные матрицы вида

–

– называются матрицами треугольного вида (А–верхняя треугольная матрица, В–нижняя треугольная матрица.)

§2. Равенство матриц. Действия над матрицами

I.Равенство матриц

Опр. Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов и их соответственные элементы равны.

А=В, если .

II.Сложение матриц

С кладывать можно только матрицы одинакового размера.

Опр. Суммой двух матриц А=(а_ij) и В=(b_ij) называется матрица С=(с_ij), у которой с_ij=a_ij+b_ij, где i=1,…,m ; j=1,…,n.

Пример 2.1

В частности, если В – нулевая матрица, то А+0=А.

Аналогично определяется разность матриц.

Сложение матриц обладает свойствами:

1)А+В=В+А (переместительный закон)

2)(А+В)+С=А+(В+С) (сочетательный закон)

3)Для любых матриц А и В одинакового размера существует единственная матрица Х такая, что А+Х=В.

Матрица Х=В–А – разность матриц. В частности, уравнение

А+Х=0 имеет единственное решение Х=0–А или Х=-А – матрица, противоположная А.

-А = (-а_ij).

III.Умножение матрицы на число

Опр. Произведением матрицы А=(а_ij) на число к с R называется матрица кА = (ка_ij), где i=1,…,m ; j=1,…,n

Свойства

1) ; ; , где 0 – число, О – нулевая матрица

2)

3)

4)

Пример 2.2. . Найти 2А+Е, где Е – единичная матрица второго порядка.

Решение:

IV. Умножение двух матриц

Даны матрицы: (m строк, n столбцов)

(n строк, p столбцов)

Найдем произведение

Опр. Произведением матриц А и В называется матрица С, элементы которой равны сумме произведений элементов i–й строки матрицы А на соответствующие элементы j–го столбца матрицы В, т.е.

.

, где .

Произведение осуществимо только в случае, когда А имеет число столбцов равное числу строк В.

Итоговая матрица имеет число строк, равное числу строк А и число столбцов, равное числу столбцов В.

В частности: .

Пример 2.3

Найти

Решение:

Пример 2.4

Ответ:

Пример 2.5

. Найти и

Ответ: .

Пример 2.6 Найти

Ответ:

В общем случае

(Если , то матрицы А и В называются коммутативными).

Свойства

1)

2)

3) ;

4) AE = EA = A, где А – квадратная матрица.

V. Умножение матрицы на матрицу-столбец.

Дано: ;

Найти:

= =

Пример 2.7

; Х = . Найти .

Решение: .

Пусть А – квадратная матрица

или

При умножении квадратной матрицы на матрицу-столбец получается матрица-столбец той же высоты.

Пример 2.8

.

Пример 2.9 Найти

Ответ: