Правило:

1. Выбрать минор 1-го порядка отличный от нуля.

2. рассмотреть миноры 2-го порядка, окаймляющие минор 1-го порядка и найти среди них отличный от нуля (если такой ).

3. Найти минор 3-го порядка, окаймляющий минор 2-го порядка, отличный от нуля (если такой ).

и т. д.

Если найдется минор порядка r отличный от нуля, а все окаймляющие миноры порядка r+1 равны нулю (или их нельзя составить), то ранг матрицы A равен r .

Пример 6.2

Найти r(A) методом окаймления. Ответ: r(А)=2

III. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.

Элементарными преобразованиями матрицы называется

1. перестановка строк (столбцов) матрицы; транспонирование матрицы.

2. умножение строки (столбца) на число k 0.

3. прибавление к элементам одной строки (столбца) элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и тоже число.

4. Отбрасывание нулевых строк (столбцов).

Матрицы, получающиеся одна из другой при помощи элементарных преобразований, называются эквивалентными: А ~ С.

Можно доказать, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга:

Если A~C, то r(A) = r(C).

Данный вывод используется при вычислении ранга матрицы. Данная матрица А преобразуется в эквивалентную матрицу ступенчатого вида:

, где С , ,

Можно доказать, что r(С) = r r(А) = r.

Пример 6.3 Найти r(A) с помощью элементарных преобразований

Ответ: r(А)=3

IV. Базисный минор.

Пусть ранг матрицы А равен r: r(A)=r. Всякий отличный от нуля минор порядка r называется базисным. Строки и столбцы выбранного базисного минора называются базисными. Матрица может иметь несколько базисных миноров.

§7. Системы m линейных уравнений с n неизвестными.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными.

(1)

A= – матрица системы, X= – матрица-столбец неизвестных, B= – матрица-столбец свободных членов.

( ) – запись системы в матричном виде.

Если , то система называется однородной.

Если , то система называется неоднородной.

Опр. Решением системы называется всякая совокупность n чисел х_1…, х_n, которая будучи подставлена в систему, превращает каждое ее уравнение в тождество.

Система уравнений, имеющая хотя бы одно решение называется совместной. Если решение единственное, то система называется определенной, если более одного решения, то неопределенной.

Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Рассмотрим матрицу из коэффициентов при неизвестных

А = – матрица системы

Дополним ее столбцом свободных членов

= – расширенная матрица.

Теорема Кронекера-Капелли.

(Л.Кронекер 1823-1891г. Немецкий математик.

А.Капелли 1855-1910г. Итальянский математик).

Для того чтобы система m линейных уравнений с n неизвестными была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы этой системы.

Система совместна r (A) = r( ).

Без доказательства.

Следствие. Если ранг расширенной матрицы системы не равен рангу матрицы системы, то система несовместна.

Если r(A) система несовместна.

r(A)=r – ранг матрицы системы

r( ) – ранг расширенной матрицы

n – число неизвестных

r(A) = r( ) = r r(A)

система совместна система несовместна,

н ет решений

r=n

единственное бесконечное

решение множество

решений

r – базисн. неизв.

(n-r) – своб. неизв.