§3. Определители

1. Определения определителей второго и третьего порядков

Понятие определителя матрицы вводится только для квадратных матриц. Любой квадратной матрице n-го порядка можно поставить в соответствие выражение (число), которое называется определителем или детерминантом матрицы и обозначается или или det A.

Опр. Определителем второго порядка называют выражение (число)

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называют элементами определителя, элементы а₁₁, а₂₂ образуют главную диагональ, а элементы а₁₂, а₂₁ – побочную.

Пример 3.1

а)

б)

Опр. Определителем третьего порядка называют выражение (число)

Числа а_ij, i=1,2,3; j=1,2,3 – элементы определителя, элементы а₁₁, а₂₂, а₃₃ образуют главную диагональ, а элементы а₁₃, а₂₂, а₃₁– побочную диагональ.

Пример 3.2

2. Свойства определителей (на примере определителя третьего порядка)

1. При замене строк столбцами величина определителя не меняется (при транспонировании матрицы ее определитель не меняется)

2. При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

Например:

3. Если в определителе имеются две одинаковые строки (столбца), то определитель равен нулю.

4. Общий множитель элементов строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

6. Если элементы одной строки (столбца) пропорциональны элементам другой, то определитель равен нулю.

Доказательство: коэффициент пропорциональности выносим за знак определителя, получим определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами), по свойству 3 определитель равен нулю.

7. Если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на любое число, то величина определителя не изменится.

3. Миноры и алгебраические дополнения. Теорема разложения определителя по элементам строки (столбца)

Рассмотрим определитель третьего порядка .

Если из определителя вычеркнуть одну строку и один столбец, на пересечении которых находится некоторый элемент а_ij, то получим определитель второго порядка, который называется минором определителя , соответствующим элементу а_ij и обозначается M_ij.

Например, ,

Опр. Алгебраическим дополнением элемента а_ij называется минор этого элемента, умноженный на и обозначается А_ij.

Пример: ,

Итак, если i+j – четно, то , если i+j – нечетно, то .

Теорема разложения. Определитель третьего порядка равен сумме парных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, разложение определителя по первой строке:

Замечание. Знаки, которые приписываются минору соответствующего элемента определителя:

Пример 3.3

Пример 3.4

Замечание. Для определителей любых порядков остаются в силе определения минора и алгебраического дополнения, а также теорема разложения, сформулированная для определителя третьего порядка.

Например: где и т.д.

§4. Обратная матрица

Понятие обратной матрицы вводится лишь для квадратной матрицы. Если А – квадратная матрица порядка n, то обратной для нее называется

матрица А , удовлетворяющая условию

(1)

где Е – единичная матрица порядка n.

Можно доказать, что (1 )

Опр. Если , то матрица называется невырожденной, если , то вырожденной.

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т.е. .

Без доказательства.