Правило нахождения обратной матрицы.
Дана квадратная невырожденная матрица
1)Найти определитель матрицы А
2)Найти алгебраические дополнения А
всех элементов определителя матрицы
А, составить из них матрицу и
транспонировать ее
3)Умножить эту матрицу на
,
в итоге получим обратную матрицу
Пример 4.1
;
Найти
.
Решение:
,
значит существует обратная матрица
A-1.
где
– алгебраическое дополнение
,
–
минор
.
.
Проверка:
Пример 4.2
Найти A-1. Ответ:
Пример 4.3
Найти A-1. Ответ:
§5. Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом и по формулам Крамера
I. Решение систем матричным методом (с помощью обратной матрицы)
Решение систем n линейных уравнений с n неизвестными матричным методом рассмотрим на примере системы трех линейных уравнений 1-ой степени с тремя неизвестными.
(1)
Обозначим:
– матрица системы,
–матрица-столбец
свободных членов
-
Найдем
.
Тогда систему (1) можно записать используя свойство равенства матриц:
(2) – матричная запись системы
линейных уравнений.
Найдем решение этого матричного
уравнения. Пусть А – невырожденная
матрица, т.е.
,
значит
.
Умножим обе части (2) на
.
Поскольку
,
то
.
EX= X, значит
(3)
– решение (2) и системы (1).
Пример 5.1 Решить систему уравнений матричным методом.
Решение:
– матричная запись системы.
– решение системы.
Пример 5.2
Ответ:
Пример 5.3
Ответ:
II. Правило Крамера
- определитель системы, составленный из коэффициентов при неизвестных
,
,
-
определители, полученные из
путем замены соответственно первого,
второго, третьего столбцов столбцом
свободных членов.
1. Если определитель системы
,
то система имеет единственное решение:
,
,
– формулы Крамера;
2.
,
или
,
или
,
то система не имеет решений;
3.
,
,
то система или не имеет решений или
имеет бесконечное множество решений.
Пример 5.4
Решить системы, указанные в примерах 5.1 и 5.2 по формулам Крамера.
Замечание. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными
1. , то система имеет единственное решение: , ;
2.
,
или
,
то система не имеет решений;
3.
,
,
то система имеет бесконечное множество
решений.
§6. Ранг матрицы.
I. Определение ранга матрицы
Рассмотрим прямоугольную матрицу
Выделим из этой матрицы произвольные k строк и k столбцов. Получим квадратную матрицу k–го порядка.
Опр. Минором k–го
порядка матрицы А называется
определитель квадратной матрицы,
получающийся из матрицы А выделением
произвольных k строк
и k столбцов. Обозначается
Замечание. Матрица
имеет
миноров k -го порядка.
Опр. Рангом матрицы А называется наивысший из порядков отличных от нуля миноров матрицы А. Обозначается r (A); rang A; rg A.
Итак, ранг матрицы А равен r, т.е r(A)=r, означает, что в матрице А есть минор порядка r, отличный от нуля, а всякий минор порядка больше r, равен нулю
.
Пример 6.1.
.
Найти r(A)
по определению.
Ответ: r(А)=2
II. Вычисление ранга матрицы методом окаймления.
При нахождении ранга матрицы не надо перебирать все ее миноры, достаточно рассмотреть окаймляющие.
Минор по отношению к данному называется окаймляющим, если он содержит данный.