- •1Вывод уравнений математической физики и постановка краевых задач
- •1.1Уравнение малых поперечных колебаний струны
- •1.2Уравнение теплопроводности
- •1.3Постановка краевых задач
- •1.4Задачи
- •2Классификация линейных уравнений второго порядка и приведение их к каноническому виду
- •2.1Классификация уравнений
- •2.2Приведение уравнений с двумя независимыми переменными к каноническому виду
- •2.3Приведение к простейшему виду
- •2.4Задачи
- •3Методы, наиболее часто применяемые при решении задач для уравнений с частными производными
- •3.1Задача Коши для волнового уравнения. Метод характеристик
- •3.1.1Решение задачи Коши на прямой
- •3.2.2Решение задач с неоднородным краевым условием
- •3.2.3Задачи
- •3.3Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
- •3.3.1Формула Пуассона
- •3.3.2Задачи
- •3.4Метод разделения переменных решения смешанных задач
- •3.4.1Сущность метода
- •3.4.2Метод Фурье решения смешанных задач для уравнений гиперболического типа
- •3.4.3Метод Фурье решения смешанных задач для уравнений параболического типа
- •3.4.4Решение неоднородных задач методом Фурье
- •3.4.5Метод Фурье решения краевых задач для уравнений эллиптического типа
- •3.4.6Задачи
- •Рекомендуемая литература
- •Содержание
2.4Задачи
В каждой области, где сохраняется тип уравнения, привести к каноническому виду уравнения:
|
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
Привести к простейшему каноническому виду уравнения:
3Методы, наиболее часто применяемые при решении задач для уравнений с частными производными
3.1Задача Коши для волнового уравнения. Метод характеристик
3.1.1Решение задачи Коши на прямой
Рассмотрим задачу Коши для одномерного волнового уравнения при отсутствии внешних сил
, (3.1)
. (3.2)
Выполнив замену переменных , приведем уравнение (3.1) к каноническому виду . Общее решение последнего уравнения дается соотношением , где – произвольные дважды дифференцируемые функции.
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения свободных колебаний струны имеет вид: .
Подбирая функции так, чтобы функция удовлетворяла приведенным начальным условиям, приходим к системе
решая которую, находим
Таким образом, решение исходного дифференциального уравнения при заданных начальных условиях дается соотношением
, (3.3)
которое носит название формулы Д’Аламбера.
В случае неоднородного уравнения (см. уравнение (1.2)) решение принимает вид
(3.4)
Пример 3. Найти решение задачи Коши для уравнения
в полуплоскости y>0, удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение. Сначала найдем общее решение уравнения в полуплоскости y>0. Для этого приведем уравнение к каноническому виду.
Общими интегралами характеристического уравнения являются . Следовательно, в исходном уравнении нужно сделать замену переменных . Тогда уравнение приводится к каноническому виду . Интегрируя это уравнение, находим . Воспользуемся теперь заданными начальными условиями:
Решая эту систему, получаем . Следовательно, решением задачи является функция
.
Пример 4. Найти решение задачи Коши
Решение. Здесь a = 2, . Отсюда по формуле Д’Аламбера (3.3) получим
3.1.2Решение задачи Коши в пространстве
Решение задачи
дается формулой Пуассона
. (3.5)
В плоском случае формула Пуассона (3.5) принимает вид
(3.6)
Пример 5. Решить задачу Коши
Решение. Для нахождения решения задачи воспользуемся формулой (3.6). Посчитаем каждый интеграл в отдельности
Аналогично
Таким образом, – решение задачи.
3.1.3Задачи
Найти решение задачи Коши:
3.2Решение задач для волнового уравнения на полупрямой
3.2.1Решение задач с однородным краевым условием
Рассмотрим задачу Коши для одномерного волнового уравнения (3.1), (3.2). Нетрудно убедиться в справедливости следующих лемм.
Лемма 1. Пусть в задаче (3.1), (3.2) функции, описывающие начальные данные , нечетные относительно x= 0, т.е. , тогда решение этой задачи обращается в 0 при x=0, т.е. .
Лемма 2. Пусть в задаче (3.1), (3.2) функции, описывающие начальные данные , четные относительно x= 0, т.е. , , тогда производная решения этой задачи обращается в 0 при x=0, т.е. .
Рассмотрим теперь смешанную задачу
(3.7)
Для решения этой задачи нельзя непосредственно воспользоваться формулой Д’Аламбера, так как входящая в эту формулу разность может быть отрицательной, в то время как начальные функции не определены для отрицательного аргумента.
Продолжим нечетным образом функции на отрицательную ось и обозначим
Тогда решением поставленной задачи (3.7) будет функция
.
Действительно, при x > at получим соотношение (3.3), которое удовлетворяет уравнению (3.1) и начальным условиям. При x < at будем иметь
.
Непосредственной проверкой нетрудно убедиться, что и в этом случае функция удовлетворяет уравнению (3.1). Краевое условие выполнено в силу леммы 1. Таким образом, решение исходной задачи можно записать
(3.8)
Смешанная задача
решается аналогично, но при этом продолжаются четным образом. В результате получается
(3.9)