- •1Вывод уравнений математической физики и постановка краевых задач
- •1.1Уравнение малых поперечных колебаний струны
- •1.2Уравнение теплопроводности
- •1.3Постановка краевых задач
- •1.4Задачи
- •2Классификация линейных уравнений второго порядка и приведение их к каноническому виду
- •2.1Классификация уравнений
- •2.2Приведение уравнений с двумя независимыми переменными к каноническому виду
- •2.3Приведение к простейшему виду
- •2.4Задачи
- •3Методы, наиболее часто применяемые при решении задач для уравнений с частными производными
- •3.1Задача Коши для волнового уравнения. Метод характеристик
- •3.1.1Решение задачи Коши на прямой
- •3.2.2Решение задач с неоднородным краевым условием
- •3.2.3Задачи
- •3.3Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
- •3.3.1Формула Пуассона
- •3.3.2Задачи
- •3.4Метод разделения переменных решения смешанных задач
- •3.4.1Сущность метода
- •3.4.2Метод Фурье решения смешанных задач для уравнений гиперболического типа
- •3.4.3Метод Фурье решения смешанных задач для уравнений параболического типа
- •3.4.4Решение неоднородных задач методом Фурье
- •3.4.5Метод Фурье решения краевых задач для уравнений эллиптического типа
- •3.4.6Задачи
- •Рекомендуемая литература
- •Содержание
3.2.2Решение задач с неоднородным краевым условием
Перейдем к рассмотрению задачи для уравнения (3.1) с неоднородными краевыми условиями
Эта задача в силу ее линейности может быть разбита на две
и
При этом . Первая задача решается приведенным выше способом, решение второй задачи ищется в виде прямой волны , так как краевой режим является единственной причиной возбуждения колебаний в струне. Тогда из начальных условий . Из краевого условия . Таким образом
т.е.
(3.10)
Пример 6. Решить смешанную задачу
Решение. Разобьем исходную задачу на две
и
при этом . Решение первой задачи, пользуясь формулой (3.8), можно записать
или
Решение второй задачи в соответствии с формулой (3.10) . Тогда .
Пример 7. Решить смешанную задачу
Решение. При помощи замены переменных приводим уравнение к каноническому виду (см. раздел 2.2) , из которого находим . Здесь и произвольные дважды непрерывно дифференцируемые функции. Выполнив обратную замену переменных, получим общее решение исходного уравнения . Неизвестные функции найдем из начальных и краевого условий:
Из первых двух уравнений системы находим , при . Подставляя найденную функцию в третье уравнение системы, получим . Следовательно, решением задачи является функция
или
3.2.3Задачи
Решить смешанные задачи:
.
, .
,
,
,
, .
,
,
,
,
3.3Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности
3.3.1Формула Пуассона
Классической задачей Коши для уравнения теплопроводности называется задача о нахождении функции , характеризующей температуру в точке пространства в момент времени . Функция удовлетворяет уравнению
, (3.11)
описывающему процесс распространения тепла в однородном изотропном пространстве, и начальному условию
, (3.12)
задающему начальное распределение температур. Функция f характеризует интенсивность внутренних источников тепла.
Если функция , а функция и ограничена, то решение задачи Коши (3.11), (3.12) существует, единственно и выражается формулой Пуассона
(3.13)
Очевидно, для случая одной пространственной переменной задача Коши запишется
, (3.11’)
. (3.12’)
И формула Пуассона соответственно примет вид:
(3.13’)
При решении задач для уравнения теплопроводности (3.11) на полупрямой применяются те же подходы, что и при решении задач для волнового уравнения на полупрямой (см. п. 3.2). Положим в уравнении (3.11’) . При этом выбор характера продолжения заданных условий на всю ось определяется следующими леммами.
Лемма 3. Пусть в задаче (3.11’), (3.12’) функция нечетная относительно x=0, т.е. , тогда .
Лемма 4. Пусть в задаче (3.11’), (3.12’) функция четная относительно x=0, т.е. , тогда .
Пример 8. Решить задачу:
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой Пуассона (3.13’). При этом получим
Посчитаем первый интеграл, для этого введем новую переменную и воспользуемся табличным значением интеграла
Тогда решение можно переписать следующим образом: