Корреляционный анализ

Теперь, после того как мы убедились в том, что результирующая переменная распределена нормально и удалили выбросы, можно приступить к корреляционному анализу.

Сначала рассмотрим зависимости между разными переменными, построив корреляционные поля. На данном этапе можно выявить, какие переменные взаимосвязаны, и каково направление их связи.

По имеющейся выборке можно привести примеры всех трёх вариантов взаимосвязи между переменными:

1. Отсутствие взаимосвязи между расходами на алкогольные напитки и численностью населения с денежными доходами ниже прожиточного минимума

2. Обратная связь между реальной начисленной заработной платой и уровнем безработицы.

3. Положительная взаимосвязь между расходами на алкогольные напитки и количеством зарегистрированных преступлений.

Корреляционные поля показывают наличие и характер связи, но, кроме этого, по ним можно визуально проверить данную выборку на многомерное нормальное распределение (относительно интересующего нас результирующего показателя). Если в том, как расположены точки, можно увидеть линейный тренд, то совокупность распределена нормально. Как видно из представленных примеров, на первом и третьем корреляционных полях точки, даже если убрать с поля диаграммы линию тренда, визуально показывают линейную зависимость.

Парные коэффициенты корреляции

Чтобы определить степень связи между переменными, рассчитаем матрицу частных корреляций.

	y	x1	x2	x3	x4	x5	x6
y	1	-0,015	-0,041	-0,093	0,27	0,295	0,021
x1	-0,015	1	-0,214	0,575	-0,104	0,151	-0,346
x2	-0,041	-0,214	1	-0,381	0,362	0,289	0,143
x3	-0,093	0,575	-0,381	1	-0,5	0,122	-0,625
x4	0,27	-0,104	0,362	-0,5	1	0,295	0,552
x5	0,295	0,151	0,289	0,122	0,295	1	-0,228
x6	0,021	-0,346	0,143	-0,625	0,552	-0,228	1

_{Проверим на значимость интересующие парные коэффициенты корреляции между результирующей переменной и всеми остальными. Для этого для каждого коэффициента вычислим статистику и рассчитаем tкр(0,05; n-2).}

	r1	r2	r3	r4	r5	r6
r	-0,015	-0,041	-0,093	0,27	0,295	0,021
t	-0,13078	-0,35773	-0,81428	2,444597	2,691531	0,183114
tкр	1,991673	1,991673	1,991673	1,991673	1,991673	1,991673

Если t>t_кр, то гипотеза о незначимости коэффициента корреляции отвергается. В данном случае гипотеза отвергается у двух коэффициентов: r4 и r5, то есть расходы на алкоголь значимо и положительно связаны попарно с соотношением браков и разводов и с уровнем преступности.

Значимость коэффициентов корреляции также можно проверить при помощи интервальной оценки, используя Z-преобразование Фишера.

Построим следующую таблицу:

	r1	r2	r3	r4	r5	r6
r	-0,015	-0,041	-0,093	0,27	0,295	0,021
Z	0,015001	0,041023	0,09327	0,276864	0,304034	0,021003
∆Z	0,226321	0,226321	0,226321	0,226321	0,226321	0,226321
Zmin	-0,21132	-0,1853	-0,13305	0,050543	0,077713	-0,20532
Zmax	0,241322	0,267344	0,319591	0,503185	0,530355	0,247324
pmin	-0,20823	-0,18321	-0,13227	0,0505	0,077557	-0,20248
pmax	0,236744	0,261152	0,309137	0,464618	0,485653	0,242402

Значения , p_min и p_max находим по таблице соответствующего распределения при нужном уровне значимости. Если p_min< 0 и p_max>0, то коэффициент корреляции незначим.

Данный тест выявил значимость у тех же коэффициентов, что и предыдущий.