- •1 Действительные числа
- •1.1 Логическая символика и терминология
- •1.2 Аксиоматика действительных чисел
- •1.3 Точные грани числовых множеств
- •1.4 Натуральные, рациональные, иррациональные числа
- •1.5 Принцип Кантора
- •1.6 Правило построения отрицания
- •2 Числовые последовательности
- •2.1 Определения
- •2.2 Предел последовательности
- •2.3 Общие свойства предела последовательности
- •2.4 Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами
- •2.5 Бесконечно малые последовательности
- •2.6 Бесконечно большие последовательности
- •2.7 Арифметические операции над сходящимися последовательностями
- •2.8 Предел монотонной последовательности
- •2.9 Число e
- •2.10 Подпоследовательности. Частичные пределы
- •2.11 Критерий Коши сходимости последовательности
- •3 Предел функции в точке
- •3.1 Определение предела по Коши
- •3.2 Определение предела по Гейне
- •3.3 Различные типы пределов
- •3.4 Свойства пределов функции в точке
- •3.5 Предел монотонной функции
- •3.6 Бесконечно малые функции
- •3.7 Замена переменной при вычислении предела (или предел композиции функций)
- •3.8 Первый замечательный предел
- •3.9 Второй замечательный предел
- •3.10 Сравнение асимптотического поведения функций
- •4 Непрерывные функции
- •4.1 Определение
- •4.2 Точки разрыва
- •4.3 Свойства функций, непрерывных в точке (локальные свойства непрерывных функций)
- •4.4 Свойства функций, непрерывных на отрезке (глобальные свойства непрерывных функций)
- •5 Производная функции в точке
- •5 .1 Определение. Физический и геометрический смысл производной
- •5.2 Дифференциал функции
- •5.3 Правила дифференцирования
- •5.4 Дифференцирование параметрически заданных
- •5.5 Производные и дифференциалы высших порядков
- •6 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •6.1 Точки локального экстремума
- •6.2 Теорема Ферма
- •6.3 Теорема Ролля
- •7 Формула Тейлора
- •Формулы Маклорена для некоторых элементарных функций
- •8 Правило Лопиталя
- •9 Исследование функций с помощью производной
- •9.1 Возрастание и убывание функций
- •9.2 Экстремумы функции
- •9.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •9.4 Выпуклость функции
- •9.5 Точки перегиба
- •9.6 Асимптоты
- •9.7 Схема исследования функции
3.5 Предел монотонной функции
О. Функция называется возрастающей на множестве Х, если
.
О. Функция называется неубывающей на множестве Х, если
.
О. Функция называется убывающей на множестве Х, если
.
О. Функция называется невозрастающей на множестве Х, если
.
Теорема 1 Для того, чтобы неубывающая функция имела предел при или , необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена на Х сверху.
Теорема 2 Для того, чтобы невозрастающая функция имела предел при или , необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена на Х снизу.
3.6 Бесконечно малые функции
О. Если , то функцию называют бесконечно малой при
Свойства бесконечно малых функций
1) Сумма конечного числа б.м. функций при есть б.м. функция при
2) Произведение б.м. функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки a функцию есть б.м. функция при
3) Произведение конечного числа б.м. функций при есть б.м. функция при
3.7 Замена переменной при вычислении предела (или предел композиции функций)
Теорема Если и , причем для любого х из некоторой проколотой окрестности точки a , то в точке a существует предел сложной функции и справедливо равенство: .
3.8 Первый замечательный предел
Теорема .
Доказательство. Покажем сначала, что при . Так как все функции, входящие в неравенство, чётные, то рассмотрим случай .
Очевидно, площадь криволинейного сектора OCD меньше площади треугольника OAB, а она меньше площади криволинейного сектора OAB. Воспользуемся формулой площади криволинейного сектора: (r − радиус, х – центральный угол). Тогда
.
Разделим все части последнего неравенства на х и умножим на два, получим . Переходя к пределу при во всех час-тях последнего неравенства, получим, что и требовалось доказать.■
3.9 Второй замечательный предел
Сделав в последнем пределе замену , получим
.
Утверждение Если и , то
.
Пример 1 .
Пример 2 .
В последнем примере при получим .
3.10 Сравнение асимптотического поведения функций
а) Эквивалентные функции.
О. Если в некоторой проколотой окрестности точки функция представима в виде , причем , то функции и называют эквивалентными при и пишут
при .
Утверждение Если и в некоторой , то
при тогда, и только тогда, когда .
Например, при , так как ; , так как .
Таблица эквивалентных функций при
Теорема Если и при , то
.
б) Понятие бесконечно малой функции по сравнению с другой.
О. Если в некоторой проколотой окрестности точки функция представима в виде , причем , то функцию называют бесконечно малой по сравнению с при и пишут , .
Утверждение Если в некоторой , то при тогда, и только тогда, когда .
Пример 1) при ; 2) при .
Если и − обе бесконечно малые при , то говорят, что есть бесконечно малая более высокого порядка, чем при .
Некоторые важные свойства символа .
Докажем, например, что . Действительно, , так как если и бесконечно малые, то тоже бесконечно малая ■