5 Производная функции в точке
5 .1 Определение. Физический и геометрический смысл производной
Пусть
– путь, пройденный материальной точкой
за время t.
Тогда средняя скорость материальной
точки за промежуток
есть величина, равная
.
Тогда
мгновенная скорость движения материальной
точки в момент времени
.
Обозначим
–
приращение аргумента х,
–
приращение
функции
,
соответ-ствующее приращению
.
О.
Производной
функции в точке
называется число (если оно существует),
равное пределу отношения приращения
функции в точке
к приращению аргумента при условии, что
и обозначается
,
т. е.
.
Механический
смысл производной.
Если х
– время,
– путь, пройденный материальной точкой
за время х,
то
– это скорость движения в момент времени
или
–мгновенная скорость изменения функции
в момент времени
.
Геометрический
смысл производной.
–
это тангенс угла наклона секущей,
проходящей через точки с координатами
и
.
При
–
тангенс угла наклона касательной,
проведенной к графику функции
в точке
.
Если
уравнение
касательной, то
.
Уравнение
касательной:
.
Примеры
1)
.
,
т. е. производная постоянной функции
равна 0.
2)
.
Покажем, что
.
Действительно,
.
3)
.
т.
е.
.
Теорема Если имеет производную в точке , то непрерывна в точке .
Доказательство.
Из равенства
следует, что
при
.
Отсюда
при
.
Значит,
при
.■
Замечание. Если разрывна в точке , то она не имеет производной в точке .
По аналогии с односторонними пределами вводятся понятия односторонних производных:
,
– правосторонняя и левосторонняя
производные функции
в точке
.
Пример
.
Найти односторонние производные.
Решение.
,
.
Так
как односторонние производные не равны,
то
не имеет производной в точке
.
5.2 Дифференциал функции
Пусть функции определена в некоторой окрестности точки .
О. Функция называется дифференцируемой в точке , если её приращение в точке представимо в виде:
,
где
А
– постоянная, не зависящая от
(но зависящая от
),
а функция
при
.
Слагаемое
называется дифференциалом
функции
в точке
и обозначается
или
.
Дифференциал – это главное линейная
часть приращения функции. Тогда
,
.
Теорема Функция дифференцируема в точке тогда, и только тогда, когда она имеет производную в точке . При этом
.
Доказательство.
Необходимость. Если дифференцируема в точке , то приращение функции в точке представимо в виде:
.
Отсюда
,
где
при
.
Следовательно,
при
существует
и
.
Достаточность. Если , то .
Следовательно,
.■
Обычно
обозначают
и пишут
.
Механический
смысл дифференциала:
,
т.е. дифференциал равен расстоянию,
которое прошла бы материальная точка
за промежуток времени
,
если бы она двигалась со скоростью
.
5.3 Правила дифференцирования
Теорема 1 Если функции и дифференцируемы в точке , то в этой точке дифференцируемы функции
(если
),
причем
1)
,
2)
,
3)
,
.
Доказательство.
1) Если
,
то
.
Тогда
.
При
предел правой части существует, значит,
существует и предел левой части. При
получаем
.
2)
Пусть
.
Тогда
.
Отсюда
следует, что
.
Так
как
дифференцируема в точке
,
то
при
.
Поэтому из последнего равенства при
получаем
.
3) Доказательство предлагается изучить самостоятельно.■
Следствие
,
где
.
Пример
Доказать,
что
.
Решение.
.
Теорема
2
(производная обратной функции) Если
функция
непрерывна и строго возрастает (убывает)
на отрезке
и если
,
то функция
,
обратная к функции
,
дифференцируема в точке
,
причем
.
Доказательство
следует из равенства
.
Пример
Доказать, что
,
при
.
Решение.
Здесь
.
Тогда
обратная функция
,
.
По формуле,
.
Теорема
3
(дифференцирование сложной функции)
Если
дифференцируема в точке
,
дифференцируема в точке
,
то сложная функция
дифференцируема в точке
,
причем
.
Таблица производных от основных элементарных функций
1)
2)
,
,
,
3)
,
4)
,
5)
,
6)
7)
,
8)
9)
,
10)
11)
,
12)
13)
,
14)
15)
,
16)
