9 Исследование функций с помощью производной

9.1 Возрастание и убывание функций

Теорема 1 (критерий возрастания дифференцируемой на интервале функции) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы .

Доказательство.

Необходимость. Возьмем . Так как возрастает на , то ,

Отсюда следует, что в любом случае . Тогда и . Достаточность следует из теоремы Лагранжа. ■

Теорема 2 (критерий убывания дифференцируемой на интервале функции) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция была убывающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы .

Теорема 3 (достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции) Если , то строго возрастает на интервале . Если , то строго убывает на интервале .

Доказательство. По теореме Лагранжа,

.

Что и требовалось доказать. ■

Теорема 4 Если непрерывна на отрезке , дифферен-цируема на интервале и для , то строго возрастает на .

9.2 Экстремумы функции

О. Точки, в которых , называются стационарными.

О. Точки, в которых непрерывна, а или не существует, называются критическими

Из теоремы Ферма следует, что если точка экстремума, то . Поэтому точки экстремума следует искать среди критических точек.

Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, для , но не является точкой экстремума.

Теорема (I достаточное условие строгого экстремума) Пусть дифференцируема в некоторой и непрерывна в точке . Тогда 1) если меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , т.е. , а , то – точка строгого локального минимума функции ;

2) если меняет знак с плюса на минус при переходе через точку , то – точка строгого локального максимума функции .

Докажем утверждение 1) теоремы. По теореме Лагранжа,

.

При , и при .

Следовательно, в некоторой окрестности точки выполняется неравенство . Значит, – точка локального минимума. ■

Теорема (II достаточное условие строгого экстремума)

Пусть , где и выполняются условия:

.

Тогда а) если четное, то точка экстремума функции , а именно, если , то точка максимума, если , то точка минимума; б) если нечетное, то не является точкой экстремума функции .

9.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

По теореме Вейерштрасса, если непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существуют такие точки, в которых достигает свои максимальное и минимальное значения. Если имеет в точках локальные экстремумы, то её максимальное и минимальное значения находятся среди чисел .

9.4 Выпуклость функции

О. Функция называется выпуклой вверх на отрезке , если выполняется неравенство: .

То есть для любых двух точек и графика функции середина хорды лежит ниже соответствующей точки графика.

О. Функция называется выпуклой вниз на отрезке , если выполняется неравенство: .

Теорема (достаточное условие выпуклости) Пусть существует на отрезке , а – на интервале . Тогда

а) если , то выпукла вниз на отрезке ; б) если , то выпукла вверх на отрезке .

Замечание. а) если , то строго выпукла вниз на отрезке ; б) если , то строго выпукла вверх на .