- •1 Действительные числа
- •1.1 Логическая символика и терминология
- •1.2 Аксиоматика действительных чисел
- •1.3 Точные грани числовых множеств
- •1.4 Натуральные, рациональные, иррациональные числа
- •1.5 Принцип Кантора
- •1.6 Правило построения отрицания
- •2 Числовые последовательности
- •2.1 Определения
- •2.2 Предел последовательности
- •2.3 Общие свойства предела последовательности
- •2.4 Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами
- •2.5 Бесконечно малые последовательности
- •2.6 Бесконечно большие последовательности
- •2.7 Арифметические операции над сходящимися последовательностями
- •2.8 Предел монотонной последовательности
- •2.9 Число e
- •2.10 Подпоследовательности. Частичные пределы
- •2.11 Критерий Коши сходимости последовательности
- •3 Предел функции в точке
- •3.1 Определение предела по Коши
- •3.2 Определение предела по Гейне
- •3.3 Различные типы пределов
- •3.4 Свойства пределов функции в точке
- •3.5 Предел монотонной функции
- •3.6 Бесконечно малые функции
- •3.7 Замена переменной при вычислении предела (или предел композиции функций)
- •3.8 Первый замечательный предел
- •3.9 Второй замечательный предел
- •3.10 Сравнение асимптотического поведения функций
- •4 Непрерывные функции
- •4.1 Определение
- •4.2 Точки разрыва
- •4.3 Свойства функций, непрерывных в точке (локальные свойства непрерывных функций)
- •4.4 Свойства функций, непрерывных на отрезке (глобальные свойства непрерывных функций)
- •5 Производная функции в точке
- •5 .1 Определение. Физический и геометрический смысл производной
- •5.2 Дифференциал функции
- •5.3 Правила дифференцирования
- •5.4 Дифференцирование параметрически заданных
- •5.5 Производные и дифференциалы высших порядков
- •6 Основные теоремы для дифференцируемых функций
- •6.1 Точки локального экстремума
- •6.2 Теорема Ферма
- •6.3 Теорема Ролля
- •7 Формула Тейлора
- •Формулы Маклорена для некоторых элементарных функций
- •8 Правило Лопиталя
- •9 Исследование функций с помощью производной
- •9.1 Возрастание и убывание функций
- •9.2 Экстремумы функции
- •9.3 Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •9.4 Выпуклость функции
- •9.5 Точки перегиба
- •9.6 Асимптоты
- •9.7 Схема исследования функции
1.4 Натуральные, рациональные, иррациональные числа
О. Множество М называется индуктивным, если
.
О. Множество натуральных чисел – это наименьшее индуктивное множество, содержащее 1. Обозначается N .
О. Множество целых чисел – это множество
Z N .
О. Множество рациональных чисел – это множество
Q целое, натуральное .
Числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными.
Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Например, . Иррациональное число – это всегда бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Принцип Архимеда Множество N не ограничено сверху.
Доказательство. Допустим, N – ограничено сверху. Тогда оно имеет точную верхнюю грань. Обозначим . Тогда для числа . Но тогда , т.е. М не является . Противоречие. ■
Следствие 1 из принципа Архимеда .
Доказательство. Возьмем . Рассмотрим число . Оно не является верхней гранью для N (так как N не ограничено сверху). Значит, . Следовательно, .■
Следствие 2 Если и , то .
Доказательство. Допустим, . Тогда .
Противоречие с условием. ■
Следствие 3 Для : .
1.5 Принцип Кантора
Примеры числовых множеств: отрезок, интервал, полуинтервал, луч, прямая, пустое множество, N, Q и т.п. Из множеств можно образовывать системы множеств. Например, , .
Утверждение Для системы интервалов не существует точки, общей для всех интервалов, т.е. Ø.
Доказательство. Допустим, существует общая точка. Это число не может быть отрицательным. Это и не ноль. Допустим, существует число . По следствию 1 из принципа Архимеда, . Но тогда . Противоречие. ■
Пусть имеется система множеств . Если , т.е. , то эта система называется системой вложенных множеств.
Принцип Кантора Для любой системы вложенных отрезков существует точка, общая для всех отрезков, т.е. . Если, кроме того, система отрезков такова, что существует отрезок, длина которого меньше , то точка с – единственная.
Доказательство. Пусть .
Рассмотрим два множества: и (А – левые концы , В – правые концы ). Нетрудно доказать (от противного), что (иначе бы , и они бы не пересекались). Значит, по аксиоме полноты, , в том числе и для случая тоже.
Значит, , .
Допустим теперь, , общие для всех отрезков. Пусть . Возьмем в качестве . Тогда существует отрезок длины меньше . Так как и , то длина равна . Но, по построению, длина меньше . Противоречие. ■
1.6 Правило построения отрицания
Пусть некоторое свойство, обозначим противоположное к нему свойство.
-
Утверждение
Отрицание (противоположное утверждение)
2 Числовые последовательности
2.1 Определения
Функцией называется правило (закон), по которому каждому элементу множества Х ставится в соответствие единственный элемент множества Y.
Обозначается или . Множество Х при этом называется областью определения, а множество Y – областью значений.
Последовательность – это функция, область определения которой есть множество N всех натуральных чисел.
– n-ый член последовательности, номер члена .
Примеры .
О. Последовательность называется ограниченной сверху, если
: .
О. Последовательность называется ограниченной снизу, если
: .
О. Последовательность называется ограниченной, если
: .
О. Последовательность называется возрастающей с номера , если .
О. Последовательность называется убывающей с номера , если
.