2.2 Предел последовательности

О. Число а называется пределом последовательности , если

.

Обозначается .

окрестностью точки а называется симметричный интервал . Следующие записи равносильны:

.

Это значит, для любой окрестности точки а существует такой номер , что все члены последовательности с номерами, большими, чем этот, принадлежат этой окрестности, т.е.

.

Пример 1 , так как

(квадратные скобки означают целую часть числа).

Если существует , то говорят, что последовательность сходится, в противном случае – расходится.

Пример 2 Последовательность не имеет предела, так как нет такого числа, в окрестности которого находились бы все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера.

Пример 3 , так как

, если .

Итак, .

2.3 Общие свойства предела последовательности

Из определения предела следует, что любая окрестность предела последовательности содержит все члены этой последовательности, кроме, быть может, конечного числа её членов.

Теорема 1 Числовая последовательность может иметь только один предел.

Доказательство. Допустим, что существуют два различных предела последовательности , т.е. , , причем .

Выберем число так, чтобы окрестности точек и не пересекались (например, ).

Так как , то .

Так как , то .

Возьмем номер . Тогда и . Но это невозможно, так как эти окрестности не пересекаются. ■

Теорема 2 Если последовательность сходится, то она ограничена.

Доказательство. Так как сходится к , то для найдем номер N так, что при . Тогда при . За пределами 1-окрестности находится не более, чем N членов последовательности . Возьмем . Тогда . То есть ограничена. ■

Замечание. Обратное не всегда верно. Например, последовательность ограничена, но не сходится.

2.4 Свойства сходящихся последовательностей, связанные с неравенствами

Теорема 1 (о промежуточной последовательности или теорема о двух милиционерах) Если таковы, что

и , то .

Доказательство. Возьмем . Найдем номер так, что . Найдем теперь так, что .

Тогда и .

Но тогда , т.е. .■

Теорема 2 Если , , причем , то

.

Доказательство. Возьмем непересекающиеся окрестности точек и . Так как , , то , и . Тогда .■

Следствие 1 Если и , то .

Следствие 2 Если , и , то .

2.5 Бесконечно малые последовательности

О. Последовательность называется бесконечно малой, если .

Это означает, что .

Свойства бесконечно малых последовательностей:

1) сумма конечного числа б.м. последовательностей есть б.м. последовательность;

2) произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность есть б. м. последовательность.

Доказательство.

1) Пусть и – б.м. последовательности.

Возьмем . Тогда

и .

Но тогда .

Это значит, что – бесконечно малая.

2) Пусть – б.м., – ограниченная последовательность. Тогда

: и .

Тогда .■