2.11 Критерий Коши сходимости последовательности
O. Последовательность называется фундаментальной, если
.
Утверждение Если последовательность фундаментальна, то она ограничена.
Доказательство.
Так как
фундаментальна, то для
.
В частности, для
.
Тогда
.
Тогда
,
где
.■
Теорема (критерий Коши) Числовая последовательность сходится тогда, и только тогда, когда она является фундаментальной.
Доказательство
необходимости.
Пусть последовательность
сходится. Это значит, что
.
Тогда
.
Достаточность предлагается изучить самостоятельно. ■
Пример
Покажем,
что последовательность
не является фундаментальной, а значит,
в силу критерия Коши, не сходится.
Действительно,
.
То есть
.
3 Предел функции в точке
3.1 Определение предела по Коши
Н
апомним,
что
окрестностью
точки a
называется множество
.
Если из этого
множества удалить точку a,
то получим проколотую окрестность
.
О.
Число А
называется пределом
функции
в точке a,
если
,
то есть для
найдется такое
,
что для
,
отличающегося от a
меньше, чем
на
,
и не равного a,
выполняется неравенство
.
Пишут
.
На языке окрестностей означает, что
.
Пример 1
Решение.
Здесь
.
Нужно доказать, что
.
Действительно,
,
если
.
Т. о.,
.
Пример 2
Решение.
,
,
если взять
.
Значит,
.
Теорема Если функция имеет предел в точке a, то он − единственный.
Доказательство.
Допустим,
и
,
причем для определенности будем считать,
что
.
Возьмем
непересекающиеся окрестности точек
и
.
Так как
,
то для
.
Т. к.
,
то для
.
Рассмотрим
.
Тогда
и
.
Противоречие. ■
3.2 Определение предела по Гейне
О.
Число А
называется пределом
функции
в точке a,
если для любой последовательности
,
сходящейся к точке a,
и такой, что
,
следует, что последовательность
соответствующих значений функции
сходится к числу А.
Т.е.
и
при
.
Пример
не существует.
Решение. Для доказательства достаточно указать две последова-тельности, сходящиеся к нулю, такие, что соответствующие значения функции стремятся к различным числам.
Возьмем
при
.
Но
.
Теорема Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
3.3 Различные типы пределов
а) Односторонние пределы.
О. Число
называется пределом
слева функции
в точке a
и обозначается
,
если
.
Аналогично
означает, что
.
Пределы слева и справа называются односторонними.
Обозначаются также
и
.
б) Бесконечные пределы в конечной точке.
,
если
.
Например,
.
в) Предел в бесконечности.
,
если
.
Например,
.
3.4 Свойства пределов функции в точке
Свойство1 Если имеет предел в точке a, то существует такая проколотая окрестность точки a, в которой эта функция ограничена.
Доказательство.
Пусть
.
Тогда для
,
т. е.
.■
Свойство2
Если
и
,
то существует такая проколотая окрестность
точки a,
в которой
имеет тот же знак, что и число А.
Доказательство.
Рассмотрим
.
Тогда
для
,
т. е.
.
Значит,
.■
Свойства, связанные с арифметическими операциями
Если
и
,
то
1)
;
2)
;
3)
,
при условии, что
.
Частный случай
второй формулы:
,
– постоянная.
Свойства, связанные с неравенствами
1) Если
и
,
то
.
2) Если
,
то
.
3) Если
,
то
.