4 Непрерывные функции

4.1 Определение

О. Функция называется непрерывной в точке а, если она определена в некоторой окрестности этой точки и .

То есть непрерывна в точке а, если: 1) определена в некоторой ; 2) ; 3) .

На языке это определение можно записать в виде:

или

.

О. Функция называется непрерывной слева в точке а, если она определена на и .

О. Функция называется непрерывной справа в точке а, если она определена на и .

Примеры 1) непрерывна . Действительно, , если взять . То есть

.

Следовательно, .

2) непрерывна и непрерывна справа в точке . Действительно,

при , если .

При , если .

Итак, .

4.2 Точки разрыва

О. Точка а называется точкой разрыва функции , если в этой точке функция не является непрерывной.

Т.е. а − точка разрыва функции , если выполняется одно из условий: 1) не определена в точке а; 2) не существует ;

3) .

О. Пусть точка а − точка разрыва функции . Если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, но они не равны, то точка а называется точкой разрыва I рода функции .

О. Если , то точка а называется устранимой точкой разрыва функции .

О. Если в точке а хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка а – точка разрыва II рода функции .

Примеры 1) точка разрыва I рода;

2) – устранимая точка разрыва, т.к. , по теореме о произведении б.м. функции на ограниченную;

3) – точка разрыва II рода, т.к. ;

4) – точка разрыва II рода, т.к. не существует.

4.3 Свойства функций, непрерывных в точке (локальные свойства непрерывных функций)

Если непрерывна в точке а, то она ограничена в некоторой окрестности точки а, т. е. и .

Если непрерывна в точке а, причем , то существует такая окрестность точки а, в которой знак функции совпадает со знаком числа .

Если и непрерывны в точке а, то функции , , (при условии, что ) непрерывны в точке а.

Теорема (непрерывность сложной функции) Если функция непрерывна в точке , функция непрерывна в точке , то в некоторой окрестности точки определена сложная функция , которая непрерывна в точке .

Доказательство. Возьмем . Так как f непрерывна в точке , то .

Так как непрерывна в точке , то для найденной окрестности .

Значит, существует окрестность , на которой определена сложная функция и , где

.

Итак, .■

4.4 Свойства функций, непрерывных на отрезке (глобальные свойства непрерывных функций)

О. Функцию называют непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке интервала , и, кроме того, непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.

1. Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

Теорема 1 (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке , то она ограничена на нём, т. е. .

Доказательство. Допустим противное, т. е.

. (1)

Полагая в (1) , получим, что

. (2)

Последовательность ограничена, т. к. .

По теореме Больцано-Вейерштрасса, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность, т. е. и , такие, что .

Так как непрерывна на отрезке , то – конечная величина. С другой стороны, из (2) следует, что , откуда следует, что . Противоречие. ■

Замечание. Теорема неверна на промежутках, не являющихся отрезками. Например, непрерывна на , но не ограничена на нём; функция непрерывна на R, но не ограничена на R.

2. Достижение точных граней.

Теорема 2 (Вейерштрасса) Если функция непрерывна на отрезке , то она достигает своих точной верхней и точной нижней граней, т.е.

и

3. Промежуточные значения непрерывной функции.

Теорема (Коши о нулях непрерывной функции) Если функция непрерывна на отрезке и принимает в его концах значения разных знаков, то существует точка такая, что .

Замечание. Теорема Коши о нулях непрерывной функции утверждает, что график непрерывной функции, принимающеё на концах отрезка значения разных знаков, пересекает ось Ox хотя бы в одной точке отрезка .

Теорема (Коши о промежуточных значениях) Если функция непрерывна на отрезке и , то для найдется такая точка , что .

Доказательство. Если или , то утверждение теоремы очевидно.

Рассмотрим случай . Введем функцию . Тогда , . По теореме Коши о нулях непрерывной функции, найдется такая точка , что . Значит, .■

Следствие Если функция непрерывна на отрезке , , , то множество значений, принимаю-щих функцией на отрезке , есть отрезок .

4. Существование и непрерывность функции, обратной к непрерывной.

Теорема Если функция непрерывна и строго возрастает на отрезке , то на отрезке определена функция , обратная к , непрерывная и строго возрастающая.

Доказательство. Докажем существование обратной функции.

Обозначим . Так как возрастает, то , где , . Значит, по следствию из теоремы Коши о промежуточных значениях, множество значений .

Согласно определению обратной функции, нужно доказать, что для уравнение имеет единственный корень . Существование корня следует из теоремы о промежуточных значениях. Докажем, что этот корень – единственный. Допустим, . Так как функция строго возрастает, то . Противоречие.

Значит, на отрезке определена обратная функция .■

Примеры 1) Так как функция непрерывна и возрастает на , то на определена обратная функция , которая непрерывна на и строго возрастает.

2) функция строго возрастает и непрерывна на . Значит, на R определена, возрастает и непрерывна обратная функция .