- •Введение
- •1. Основные понятия теории вероятностей
- •2. Повторение незавИсИмых опытов
- •3. Случайные величины и их числовые характеристики
- •4. Система двух случайных величин и регрессия
- •Закон распределения двумерной случайной величины
- •5. Основы математической статистики
- •Контрольная работа 4
- •Задача 2.
- •Контрольная работа 5
- •6. Линейное программирование. Основные понятия и экономическая интерпретация
- •6.1. Задача лп
- •6.2. Примеры постановки задач лп
- •6.3. Геометрическая интерпретация задачи лп. Графическое решение
- •6.4. Основные формы задачи лп
- •6.5. Симплексный метод и приведение задачи лп к правильной форме
- •6.6. Признаки оптимальности начального допустимого плана
- •7. Метод искусственного базиса
- •8. Двойственные задачи лп
- •9. Транспортная задача и метод потенциалов
- •Контрольная работа 6
- •Рекомендательный библиографический список
- •Значения в зависимости от числа степеней свободы m и уровня значимости ( – доверительная вероятность)
- •Содержание
8. Двойственные задачи лп
Рассмотрим следующую задачу. Пусть мебельная мастерская производит столы и шкафы из древесины 1, 2 или 3-го сорта. Расход материалов и их запасы следующие:
древесина |
1 |
2 |
3 |
на 1 стол |
0,15 |
0,2 |
0,05 |
на 1 шкаф |
0,3 |
0,1 |
0,25 |
запас, м3 |
60 |
40 |
50 |
Цена одного стола 12 условных единиц, а цена одного шкафа 15 условных единиц. Если – количество производимых столов и – количество производимых шкафов, то план производства и получаем задачу ЛП по оптимизации дохода .
в матричном виде
, , ,
где , , , она является стандартной задачей ЛП.
Владельцу мастерской предложили продать древесину (без изготовления мебели). Пусть , и – цена 1 м3 древесины соответственно 1, 2 и 3-го сорта. Чтобы продавец не потерял своего дохода от продажи древесины, стоимость древесины, расходуемой на один стол и один шкаф, должна быть не меньше продажной цены древесины этих изделий:
(3)
где .
В интересах покупателя стоимость всей древесины необходимо минимизировать:
. (4)
Таким образом, получили двойственную задачу ЛП (3), (4), в которой максимум заменился на минимум, знаки неравенства изменились на противоположные, столбцы ограничений перешли в соответствующие по порядку строки, правые части ограничений (ресурсы) стали соответствующими по порядку коэффициентами целевой функции и, обратно, коэффициенты целевой функции стали ресурсами, причем число ограничений одной задачи равно числу переменных в другой.
В матричном виде такая взаимная двойственность между задачами ЛП описывается следующим образом:
где – транспонированная матрица А (столбцы становятся на место строк в соответствующем порядке). При этом за счет смысловых ограничений выполняются неравенства:
.
Теорема (о минимаксе). Если одна из двойственных задач разрешима, то разрешима и другая, причем экстремальные значения целевых функций обеих задач равны .
Следствие. Спрос и предложение могут уравновешиваться (возможно равновесие рынка).
Теорема (соотношения двойственности).
1. Если оптимальный план одной из двойственных задач удовлетворяет некоторому ограничению как строгому неравенству, то соответствующая (по номеру ограничения) переменная в оптимальном плане двойственной задачи равна нулю.
2. Если в оптимальном плане двойственной задачи какая-то компонента больше нуля, то соответствующее ограничение исходной задачи выполняется как равенство для ее оптимального плана.
Пример 23. Рассмотрим двойственные задачи ЛП:
;
Вторую задачу с двумя переменными легко решить (например, графически на плоскости) и получить оптимальный план . Так как первым трем ограничениям этот план удовлетворяет как строгим неравенствам, то по первому соотношению двойственности в оптимальном плане двойственной задачи (первой задачи) имеем . Так как в оптимальном плане второй задачи, двойственной к первой задаче, первая компонента , то по второму соотношению двойственности первое ограничение первой задачи выполняется как равенство . Следовательно, оптимальный план первой задачи и при этом .
Компоненты оптимального плана двойственной задачи называются оценками (или объективно обусловленными ценами) и по соотношениям двойственности показывают, какие ресурсы исходной задачи исчерпываются, а какие – нет. Кроме того, с помощью этих оценок можно выяснить как изменяется значение целевой функции исходной задачи при изменении ресурсов . В силу линейности функций
.
Отсюда следует, что .
Приращение целевой функции
Таким образом, зная оптимальное значение , можно определить оптимальное значение и для изменившихся значений ресурсов.