I. Цель работы

Экспериментальное определение коэффициента проницаемости неподвижного зернистого слоя, уяснение физической сущности закона Дарси.

2. Содержание работы

1. Ознакомиться с основными геометрическими характеристиками зернистого слоя.

2. Физическая сущность закона Дарси и границы его применимости.

3. Связь между коэффициентом фильтрации , коэффициентом проницаемости и удельным сопротивлением осадка.

4. Ознакомиться с классическими методиками измерения сопротивления зернистого слоя.

5. Экспериментально измерить коэффициент фильтрации зернистого слоя.

3. Теоретическая часть

Во многих процессах химической технологии имеет место движение жидкостей или газов через неподвижные слои материалов, состоящих из отдельных элементов. Движение потока через зернистый слой используется в различных технологических процессах (фильтрование, газоочистка, промывка, экстрагирование и др.).

Форма и размеры элементов зернистых слоев весьма разнообразны: мельчайшие частицы слоев осадка на фильтрах, гранулы, таблетки и кусочки катализаторов и адсорбентов, крупные насадочные тела (в виде колец, седел и т.п.), применяемые в абсорбционных и ректификационных колоннах. При этом зернистые слои могут быть монодисперсными или полидисперсными в зависимости от того, одинаковы или различны по размеру частицы слоя.

При движении жидкости через зернистый слой, когда поток полностью заполняет свободное пространство между частицами слоя, можно считать, что жидкость одновременно обтекает отдельные элементы слоя и движется внутри каналов неправильной формы, образуемых пустотами и порами между элементами.

Основные геометрические характеристики зернистого слоя: удельная поверхность, пористость и эквивалентный диаметр каналов.

Удельная поверхность а(м²м³) представляет собой суммарную поверхность частиц материала, занимающих 1 м³. Чем меньше размер частиц тем больше удельная поверхность слоя.

Доля свободного объема, или пористость , выражает объём свободного пространства между частицами в единице объёма, занятого слоем. Если V  общий объём, занимаемый зернистым слоем, и V_о - объём, занимаемый самими частицами, то

 =(VV_о)V.

Пористость зависит от формы частиц и не зависит от их размера. При =0 поры в объёме V отсутствуют (сплошное тело); при =1 поры занимают весь объём V , т.е. жидкость занимает весь объём V. В зернистых слоях  изменяется в пределах от 0,25 до 0,9. Например, для частиц сферической формы 0,4.

Эквивалентный диаметр каналов в зернистом слое определяется

Он может быть выражен также через размер частиц

где d  диаметр шара, имеющего тот же объём, что и частица; Ф  фактор формы (для куба Ф=0,806, для шарообразных частиц Ф=1).

Значения Ф,,а для различных материалов приводятся в справочной литературе. Величина  может зависеть от соотношения между диаметром d частиц и диаметром D аппарата, в котором находится слой. Это связано с так называемым пристеночным эффектом: пористость слоя у стенок всегда выше, чем в центральной части слоя. Пристеночный эффект вызывает неравномерность распределения скоростей потока: скорости у стенок, где доля свободного объёма слоя больше и сопротивление ниже, превышает скорость в центральной части аппарата.

Первые эксперименты по фильтрации воды были поставлены Дарси в 1854г. Он исследовал фильтрацию воды в вертикальной трубе, заполненной песком. В результате им было установлено, что количество фильтрующейся воды, проходящей через единицу площади поверхности, пропорционально потере напора. Эта экспериментальная зависимость была названа законом Дарси.

В дифференциальной форме зависимость Дарси имеет вид

v =  k₁ , (1)

где k₁ коэффициент фильтрации, H=P/g+z  напор, P давление,   плотность жидкости, z  высота рассматриваемой точки над плоскостью сравнения, v  скорость движения жидкости в направлении s. Знак минус указывает на то, что движение жидкости направлено в сторону уменьшения напора.

Разница в давлениях Р не обязательно является причиной движения воды. Например, в стакане с водой есть разность давлений по высоте, но нет движения воды, так как напоры Н по высоте слоя воды одинаковы. Однако в технологических аппаратах при движении газа или жидкости сквозь плотный слой зернистого материала часто именно давление Р является движущей силой фильтрации, а гидростатической составляющей напора можно пренебречь.

Полагая dH/ds=1, находим, что |v| = k₁, т.е. коэффициент фильтрации (в мс) численно равен скорости фильтрации при градиенте напора, равном единице.

а) б)

Рис.1 Прибор Дарси (а) и трубка Каменского(б) для измерения коэффициента фильтрации зернистого материала: 1слой зернистого материала; 2пьезометры; 3сетка; 4мерный сосуд.

Коэффициент фильтрации определяют в лабораторных условиях путем замера расхода воды и разности напоров в основном по двум схемам. В первой схеме (прибор Дарси)(рис.1,а) по торцам вертикального образца с помощью сливов устанавливают постоянную разность напоров  и у нижнего слива непосредственным отбором профильтрованной воды определяют расход Q. Тогда, зная площадь поперечного сечения трубки прибора F и длину образца и используя зависимость (1), получим

,

откуда

.

Можно также измерять разности напоров  по пьезометрам, установленным на расстоянии , при этом

.

Во второй схеме (рис.1,б) о расходе воды можно судить по скорости снижения уровня воды в цилиндре. Согласно закону Дарси (1)

,

где скорость должна удовлетворять уравнению неразрывности Q=Fv. Расход воды через образец с поперечным сечением F будет

,

где h  текущая высота столба жидкости. За период времени dt объём выходящей воды из образца Qdt должен быть равен уменьшению объёма воды в трубке Fdh. Поэтому уравнение неразрывности потока воды можно представить в виде

.

Интегрируя это уравнение в пределах от h ₁ до h₂, получим для коэффициента фильтрации

, (2)

где t₁  время снижения уровня воды в цилиндре от h₁ до h₂.

Коэффициент фильтрации различных зернистых материалов меняется в широком диапазоне. Например, для чистых песков k₁ меняется от 10^4 до 10^2 м/с.

Коэффициент фильтрации k₁ зависит не только от свойств зернистого материала, но и от свойств фильтрующейся жидкости, именно зависит от вязкости , которая, в свою очередь, зависит от температуры. Таким образом, коэффициент фильтрации k₁ характеризует и слой частиц, и жидкость, которая фильтруется. Вследствие этого, рассматривая фильтрацию различных жидкостей, целесообразно придать закону Дарси (1) другой вид, а именно ввести в этот закон в явном виде коэффициент вязкости жидкости :

v =  (k/) gradH, (3)

где k  коэффициент проницаемости слоя. Из сопоставления (1) и (3) следует связь коэффициента проницаемости и коэффициента фильтрации

k = k₁/g.

В качестве примера зависимости k от пористости  можно указать формулу Козени вида

k = 8,4(1,275  1,5)² d² ³/(1)²,

где d  диаметр частиц (эффективный).

Верхний предел применимости закона Дарси определяется тем, что при относительно больших скоростях фильтрации нарушается линейная зависимость между потерей напора и расходом. Можно указать верхний предел применимости закона Дарси. Он справедлив при числах Рейнольдса Re = vd    . Закон Дарси применим для мелкозернистых материалов и малых скоростей фильтрующейся жидкости.

В теории фильтрования при течении различных жидкостей через слой осадка широко используется следующая форма уравнения Дарси

(4)

где P  гидравлическое сопротивление осадка высотой h, r_o  удельное сопротивление осадка. Из сопоставления (3)и (4) получим связь между коэффициентом проницаемости слоя k и удельным сопротивлением осадка r_o:

k = 1/r_o.

Рекомендуется следующая формула для ориентировочного расчета удельного сопротивления осадка

r_o  150(1)²/(³²d²) ,

где d  диаметр шара, имеющего тот же объём, что и частица, Ф=F_ш/F  фактор формы, F_ш  поверхность шара равного объёма с частицей, F  поверхность частицы. Для шара Ф=1, для куба Ф=0,806.

Для расчета гидравлического сопротивления зернистого слоя при любом режиме течения жидкости (как ламинарном, так и турбулентном) используется уравнение

,

Величина коэффициента сопротивления  зависит от критерия Рейнольдса

 =133/Re + 2,34 ,

где Re = 4v/a.

Коэффициент проницаемости используется при решении различных задач фильтрации. Задачей расчета фильтрации является определение зависимости расхода жидкости от перепада давления, а также характер распределения давления и скорости в зернистом слое. В качестве примера рассмотрим фильтрационное движение жидкости через плоскую стенку. Пусть имеем плоскую пористую стенку, толщиной . Ось х направлена по нормали к поверхности стенки. Размер стенки ВхН. Расход жидкости Q. Давление на входе Р₁, на выходе P₀. Течение стационарное, изотермическое. Жидкость вязкая.

Для решения задач фильтрации используется уравнение неразрывности и закон Дарси. Течение в направлениях y и z отсутствует, поскольку нет соответствующих перепадов давления, поэтому можем положить v_y=v_z=0. Таким образом, уравнение неразрывности для этой задачи имеет вид

dv_x/dx=0.

Следовательно v_x=const.

С другой стороны компоненту скорости v_x можно определить пользуясь законом Дарси

(5)

Граничные условия для давления имеют вид

x=0, P=P₁, (6)

x=, P=P₀, (P₁>P₀). (7)

В уравнении (5) разделим переменные и проинтегрируем с учетом условия (6) и v_x=const

Выполнив интегрирование, получим линейную зависимость для распределения давления в стенке

(8)

Неизвестную скорость фильтрации v_x найдем, используя граничное условие (7). Имеем

откуда

(9)

Найдем объемный расход жидкости

Q=v_xHB,

или

Таким образом, найдена зависимость расхода жидкости от перепада давления.

Если в выражение (8) подставить величину v_x из (9), то получим следующее выражение для распределения давления в стенке

Следовательно распределение давления по толщине стенки линейно.

Аналогично может быть решена задача фильтрации в цилиндрической стенке.