Работа №4 Измерение коэффициента диффузии в воде

1. Цель работы: экспериментальное определение коэффициента диффузии в воде, используя математическую модель нестационарной диффузии.

Содержание работы

1. Ознакомиться с первым и вторым законами Фика.

2. Изучить способ построения математической модели нестационарной диффузии неограниченной пластины.

3. Экспериментально определить коэффициент диффузии в воде и сопоставить его с расчетным.

4. Измерение коэффициента диффузии в воде.

1. Теоретическая часть

В природе повсюду можно встретить явления массопередачи, которые имеют важное значение во всех отраслях науки и техники. Перенос массы происходит, чтобы ни протекала химическая реакция, будь то промышленный реактор, биологическая система или исследовательская установка. Реагенты должны встретиться, чтобы реакция происходила, и реакция замедляется, если не удаляются ее продукты.

Важны факторы, определяющие скорость межфазного переноса. Размеры и стоимость массообменного оборудования обратно пропорциональны плотности потока массы через поверхность раздела фаз.

Массопередачу условно можно разделить на четыре области: молекулярная диффузия в неподвижной среде, диффузия в жидкостях при ламинарном течении, турбулентная диффузия и массопередача между двумя фазами.

В пределах одной фазы перенос осуществляется молекулярной диффузией, турбулентной диффузией или с помощью обоих механизмов. Молекулярная диффузия обусловлена тепловым давлением молекул. Молекулы движутся с большими скоростями, но проходят короткие расстояния, поскольку сталкиваются с другими молекулами и отклоняются в случайных направлениях. В результате обычной диффузии градиенты концентрации имеют тенденцию к исчезновению.

Молекулярная диффузия может происходить под воздействием концентрационных, температурных градиентов (термодиффузия) или градиентов давления (бародиффузия), или же в том случае, когда на смесь накладывается направленный внешний электрический или иной потенциал. В совершенно неподвижной газовой или жидкостной смеси неизбежно возникает градиент концентрации в направлении заданного температурного градиента («эффект Соре»). Например, в двух соединенных между собой колбах, содержащих смесь из 35,6 % водорода и 64,4 % неона, установится разница концентраций, равная 6,9 %, если одну колбу поддерживать при 290,4 К, а другую – при 90,2 К. Этот процесс, известный под названием термодиффузии, применялся для разделения урана и других изотопов. Градиент вязкостных касательных напряжений в жидкой смеси создает стационарный концентрационный градиент. В живой ткани диффузия может происходить в направлении отрицательного концентрационного градиента. Такое явление <<активного переноса>> объясняется, по-видимому, подводом свободной энергии, необходимой для концентрирования, которая заставляет растворенное вещество диффундировать в гору. Если этот процесс окажется понятным, он может получить распространение в промышленности. Действительно, были попытки использовать бактерии для концентрирования руд.

Молекулярная диффузия описывается первым законом Фика, согласно которому количество вещества dM, продиффундировавшего за время d через элементарную поверхность dF (нормальную к направлению диффузии) пропорционально градиенту концентрации dc/dn этого вещества:

или

где q=M/F  плотность потока массы через нормальную площадку.

Коэффициент пропорциональности D в выражении закона Фика называется коэффициентом диффузии. Знак минус указывает на то, что молекулярная диффузия всегда протекает в направлении уменьшения концентрации. Коэффициент диффузии имеет размерность

Коэффициент диффузии является физической константой и зависит от свойств распределяемого вещества, свойств среды, температуры и давления. Для измерения коэффициента диффузии в воде, например, используют ячейку с диафрагмой. Ячейка представляет собой цилиндрический стеклянный сосуд, разделенный пористым стеклянным диском на две камеры. Нижняя камера заполняется водным раствором исследуемого вещества, а верхняя - равным объёмом воды. Растворенное вещество диффундирует через пористый диск, при этом концентрация в обеих камерах стремится выравниться. При этом расчетный коэффициент диффузии занижен вследствие того, что путь диффузии вдоль извилистой поры больше, чем по нормали к поверхности. Эффективный коэффициент диффузии можно определить так

D=Di ,

где Di  измеренный коэффициент диффузии через пористую диафрагму,  коэффициент извилистости каналов диафрагмы ( >1. определяется экспериментально).

Вторым законом Фика называют дифференциальное уравнение, описывающее изменение концентраций в пространстве и во времени. Рассмотрим одномерный случай, когда концентрация зависит лишь от x.

Вычислим потоки вещества через две плоскости, находящиеся на расстоянии x (рис.1). Через левую плоскость поток равен DF(c/x), а через правую DF(c/x)|_x+x.

В результате за время  в объёме Fx прибавиться количество вещества

Взяв два первых члена разложения последнего слагаемого в ряд Тэйлора

получим

Это элементарное количество вещества приведет к увеличению его концентрации во времени. Следовательно

q=(c/)Fxd.

Таким образом, приравнивая q , получим одномерное дифференциальное уравнение нестационарной диффузии

(1)

Р ассмотрим процесс нестационарной диффузии в бесконечной пластине конечной толщины (рис.2). На левой поверхности пластины задана концентрация c_o распределяемого вещества. Правая сторона пластины свободна, т.е. поток массы отсутствует q=D(c/x)=0 при x= . В начальный момент времени распределяемого вещества нет в пластине, т.е. =0, с=0. Глубину проникновения вещества в пластину обозначим как (). Найдем, используя интегральный метод, время необходимое для достижения диффундирующим веществом левой поверхности пластины. При бесконечном времени процесса концентрация по сечению пластины становится однородной и соответствует с_о.

С учётом принятых допущений, задача описывается уравнением (1), дополненного начальным и граничными условиями:

=0, с=0, (2)

x=0, c=c_o, (3)

x= , c/x=0, (4)

x=, c=0, c/x=0. (5)

Условия (5) даны для переднего фронта проникновения (см.рис.2). Введем безразмерные переменные и параметры:

.

С учетом безразмерных переменных система уравнений (1)-(5) примет вид

(6)

Fo=0, C=0, (7)

X=0, C=1, (8)

X=1, C/X=0, (9)

X=, C=0, C/X=0. (10)

Усредним уравнение (6) по глубине проникновения, для чего умножим его на dX и проинтегрируем по X от 0 до (Fo)

Для левой части используем формулу интегрирования Лейбница

откуда

Но согласно условию (10) С()=0. Следовательно, имеет

(11)

Здесь учитывалось условие (10) C/X=0 при X=.

В правой части (11) стоит неизвестный градиент концентраций на левой стенке.

Пусть распределение концентраций описывается квадратичной зависимостью. Методом неопределенных коэффициентов, с учётом условий (10), для распределения концентраций принимаем параболическое приближение

(12)

Подставляя (12) в (11) получим дифференциальное уравнение для 

Разделяя переменные и интегрируя с учётом начального условия для 

Fo=0, =0,

имеем

²=12Fo .

Отсюда находим число Фурье, соответствующее моменту достижения веществом правой стороны пластины. При этом =1 и Fo^*=1/12.

Следовательно, для коэффициента диффузии можем записать(Fo^*=D^*/ )

(13)

где ^* время достижения молекулами диффундирующего вещества правой стороны пластины (см.рис.1)