2. Використання теорії масового обслуговування у керуванні виробництвом

Для того, щоб зрозуміти, як роз’язуються задачі керування виробництвом з використанням теорії масового обслуговування (ТМО), розглянемо її основи за допомогою прикладів.

2.1. Системи масового обслуговування з відмовами

Нехай виробнича система складається з двох пристроїв, які виробляють одну і ту саму продукцію. Пристрої в ході роботи можуть виходити з ладу (відмовляти). Пристрій, що відмовляє, відразу починає ремонтуватись. Така система має чотири стани:

Стан S1 – обидва пристрої працюють;

Стан S2 – перший пристрій ремонтується (після відмови), другий працює;

Стан S3 – другий пристрій ремонтується, перший працює;

Стан S4 – обидва пристрої ремонтуються.

Позначимо інтенсивність потоку відмов першого пристрою як 1, інтенсивність потоку відмов другого пристрою – як 2, інтенсивність потоку закінчень ремонтів першого пристрою – як 1, інтенсивність потоку закінчень ремонтів другого пристрою – як 2.

Граф станів такої виробничої системи наведений на р.1.

1

1

2

2

2

2

1

S1

S2

S3

S4

1

Рис.1. Граф станів виробничої системи

Переходи S1S2; S1S3; S2S4; S3S4 здійснюються в результаті відмов у системі. Зворотні переходи є наслідком ремонтних робіт. Відмови і закінчення ремонтів – випадкові величини.

Нехай наявні N однакових систем, які описуються наведеним графом станів (N>>1). Кількість систем, що перебуває у стані Si, дорівнює Np_i , де p_i – ймовірність перебування системи у стані Si (це твердження то точніше, що більше N). Розглянемо конкретний стан, наприклад S1. З цього стану можливі переходи у стани S2 і S3 – з сумарною ймовірністю 1+2, віднесеною до одиниці часу. У стаціонарному режимі інтенсивність потоку дорівнює ймовірності за кінцевий проміжок часу, поділений на цей проміжок часу.

Розглянемо виходи зі стану S1. Враховуючи наведене, кількість виходів зі стану S1 за одиницю часу у колективі розгядуваних систем:

Np₁(1+2).

Загальне правило: кількість переходів зі стану і у стан j (SiSj), що здійснюється за одиницю часу, дорівнює добутку кількості систем у стані Si, помноженому на ймовірність переходу, за одиницю часу.

Входи у стан S1 (рис. 1) здійснюються зі станів S2 і S3. Число входів у стан S1 за одиницю часу становить Np₂+ Np₃. Оскільки розглядається стаціонарний процес, то кількості виходів і входів для кожного зі станів мають бути збалансовані. Отже, для стану S1 маємо таке рівняння балансу:

Np₁(1+2)=Np₂1+Np₃2. (1)

Розглянемо баланс входів і виходів для кожного стану і, скорочуючи у рівняннях загальний множник N. Отримуємо такі рівняння відносно ймовірностей p1, p2, p3, p4:

Для стану S1

p₁(1+2)=p₂1+p₃2 (2)

Для стану S2

p₂(1+1) = p₁1 + p₄2 (3)

Для стану S3

p₃(1+2) = p₁2 + p₄1 (4)

Для стану S4:

p₄(1+2) = p₂2 + p₃1 (5)

Неважко переконатися, що рівняння (5) може бути отримано як сума перших трьох. Замість цього рівняння скористаємося рівнянням р₁+р₂+р₃+р₄=1, яке означає, що система з достовірністю знаходиться в будь-якому з чотирьох станів. Отже, приходимо до системи рівнянь:

p₁(1+2) = p₂ 1 + p₃ 2

p₂(1+1)=p₁1+p₄2 (6)

p₃(1+2) = p₁ 2 + p₄1

р₁+р₂+р₃+р₄ = 1

Система (6) називається системою рівнянь Колмогорова. Вона дає змогу обчислювати ймовірності знаходження системи у кожному з визначених станів. У теорії потоків, коли швидкість переходу з одного стану в інший є великою, процес функціонування системи описується рівняннями Колмогорова.

Розглянемо СМО з відмовами.

Найпростішим прикладом СМО є автоматична телефонна станція. Якщо абонент, що викликається, зайнятий, даються короткі гудки, очікування безглузде. Залежно від ступеня необхідності обслугування замовлення або залишають систему, або повертаються повторно.