6. Приклад виконання лабораторної роботи № 2 Завдання 1

На підприємстві наявна одна площадка для розвантаження машин, що привозять сировину, і площадка для очікування на m машин. Якщо всі місця на площадці очікування зайняті, то наступній машині, що прибула на підприємство, немає місця для очікування. Аналітично було з’ясовано, що на підприємство в середньому за 1 хв прибуває потік машин інтенсивністю , а потік обслугування інтенсивністю  визначається тривалістю розвантаження.

Менеджера цікавить ймовірність відмови в обслуговуванні і середній час очікування залежно від місць m.

Розв’язання

Дану задачу можна продати у вигляді одноканальної системи з обмеженою чергою. Число місць у черзі m. Якщо усі місця зайняті, то чергове замовлення, що надходить у систему, отримує відмову. Граф станів такої системи (рис.8):

   

S₀

S₁

S₂

S_m+1

   

Рис.8.

Стани системи:

S₀ – канал вільний;

S₁ – канал зайнятий, іде обслугування, але черги немає;

S₂ – канал зайнятий, у черзі є одне замовлення;

S₃ – канал зайнятий, у черзі - два замовлення;

…

S_m+1 – канал зайнятий, у черзі перебувають m замовлень.

Рівняння Колмогорова для такої системи:

 p₀ =  p₁ ;

(  +  ) p₁ =  p₀ +  p₂ ;

…

(  +  ) p_m =  p_m-1 +  p_m+1 ;

p₀ + p₁ + p₂ + … + p_m + p_m+1 = 1.

Введемо позначення  =  / , отримуємо ймовірність вільного каналу:

р₀ = 1 / ( 1 +  + ² + … + ^m+1 ) = (1 –  ) / ( 1 – ^m+2 );

p_k = ^k  p₀,

де k = 1,2,3,…,m+1.

Ймовірність відмови – p_m+1.

Середня кількість замовлень у черзі:

де p_k – ймовірність того, що у черзі перебуває k–1 замовлення.

Середній час очікування у черзі

W_q=L_q / .

Нехай інтенсивність прибуття машин  = 2,5, а інтенсивність обслуговування  = 1,5.

За результатами розрахунків у програмі MathCad отримуємо  =  /  = 1,667.

Якщо кількість місць у черзі m = 1, то ймовірність відмови p_m+1 = 62,5 %, а середній час очікування у черзі дорівнює 0,25 хвилини.

Якщо кількість місць у черзі m = 6 то ймовірність відмови p_m+1 = 41,2 %, а середній час очікування у черзі дорівнює 2,5 хвилини.

Видно, що якщо  > 1, то за великих значень m ймовірність відмови стабілзіується і стає такою, що дорівнює (  –- 1 ) / .

Для суттєвого зниження ймовірності відмови треба (якщо не можна зменшити ) преходити до багатоканальної системи, тобто робити кілька площадок для розвантаження.

Завдання 2

На підприємство переробної галузі прибувають машини з сировиною.

Аналітично відомі інтенсивність потоку замовлень  і інтенсивність потоку обслуговувань (розвантаження машин) . При цьому може утворюватись черга.

Менеджерів по постачанню цікавить ймовірність черг, їх розмір і ймовірність відсутності черги.