2.1.1. Одноканальна смо

Одноканальна СМО – це найпростіша СМО, за допомогою якої можна розглянути деякі закономірності керування виробництвом.

На вхід одноканальної системи надходить потік замовлень інтенсивністю . Замовлення, що надійшло у момент, коли система вільна, відразу ж починає обслуговуватись. Наступне замовлення, що надходить коли канал обслугування зайнятий, отримує відмову (р.2). Час обслугування замовлення є випадковим, але на виході створюється потік обслугування з інтенсивністю , що визначається середнім часом обслуговування.

Наприклад, якщо середній час обслугування одного замовлення становить 0,2 хвилини, то інтенсивність потоку обслугування  = 1 / 0,2 = 5.

П

Станція

отік замовлень Потік обслуговування

Рис 2. Потік замовлень і потік обслугування в СМО

Одноканальна СМО може перебувати лише в одному з двох станів: S0 – канал вільний, S1 – канал зайнятий. Граф станів ймовірних переходів зі одного стану в інший наведений на рис. 3.



S0

S1



Рис.3. Граф одноканальної СМО з відмовами

Позначимо ймовірність знаходження СМО у стані S0 як р₀, ймовірність того, що система знаходиться у стані S1 як р₁. Оскільки система завжди перебуває в одному з двох станів, то сума ймовірностей дорівнює 1:

p₀ + р₁ = 1.

Дії, що виводять її зі стану S0 мають врівноважуватися діями, що повертають систему в стан S0, отже

р₀ = р₁.

З цього виразу визначаємо

р₁=(p₀ ) / .

Враховуючи, що сума ймовірностей завжди дорівнює 1, отримуємо

р₀+(р₀)/ =1

Отже,

p₀=1/(1+/)=/() (7)

І відповідно,

p₁ = p₀ = . (8)

Основні показники СМО з відмовами: відносна пропускна та абсолютна пропускна здатності, а також ймовірність отримання відмови.

Відносна пропускна здатність q визначається ймовірністю того, що в момент надходження замовлення канал вільний, і воно буде обслуговуватись, тобто для одноканальної системи q = p₀. Біля межі, коли процес уже встановився, значення відносної пропускної здатності СМО

Q =   (  ). (9)

Абсолютна пропускна здатність А визначається добутком відносної пропускної здатності на інтенсивність потоку замовлень: А = q. У границі вона стає рівною:

A =   (  ). (10)

Ймовірність того, що замовлення буде обслуговане, визначається р₀, а ймовірність отримання відмови – р₁. Отже,

P_{відмови}=p₁=(). (11)

2.1.2. Багатоканальні смо

Багатоканальні СМО використовуються для підвищення пропускної спроможності (наприклад збільшується число ліній зв’язку в телефонній мережі або кількість контрольних приладів на виробництві, тощо).

На перший погляд, що більша кількість каналів встановлюється, то краще і зручніше для користувача, але загальна ефективність системи при цьому може знизитись, оскільки кожний новий канал потребує додаткових витрат на встановлення та обслуговування.

Граф двоканальної СМО з відмовами буде мати вигляд, наведений на р. 4.

 

S0

S1

S2

 

Рис.4. Граф двоканальної системи масового обслуговування

Стан S0 – обидва канали вільні, стан S1 – в СМО є одне замовлення і один канал зайнятий, а другий вільний, стан S2 – обидва канали зайняті обслуговуванням замовлень і наступним замовленням буде даватися відмова. Зі стану S0 у стан S1 систему переводить потік замовлень з інтенсивністю . Як тільки надходить перше замовлення, один канал стає зайнятим, той самий потік інтенсивністю  переводить СМО з першого стану у другий, коли зайняті обидва канали.

Якщо у системі зайнятий один канал (стан S1), то цей канал здійснює  обслуговувань за одиницю часу. Тепер нехай система перебуває у стані S2, тобто в ній працюють два канали. У стан S1 система буде переходити, якщо обслугування закінчив або перший, або другий канал. Отже, сумарна інтенсивність потоку обслугування дорівнюватиме 2.

Для стану S0 баланс дій

(12)

Звідси отримуємо:

(13) Для стану S1 баланс дій визначається:

З урахуванням того, що р₁ = р₀ (з рівняння 12) , отримуємо

2  р₂ =  р_1,

або інакше:

(14) Оскільки сума усіх ймовірностей має дорівнювати 1, отримуємо

Звідси витікає:

(15)

Граф станів трьохканальної системи масового обслуговування з відмовами має вигляд, наведений на р.5.

S0

S1

S2

S3

  

  3

Рис.5. Граф трихканальної СМО з відмовами

Повторимо висновки, аналогічні попереднім, за формулами 1.12 – 1.15 отримуємо для стану S2 баланс дій:

р₂ +2р₂ = р₁ +3р₃. (16)

Звідси

(17)

Якщо сума ймовірностей дорівнює 1, то

Звідси

(18)

Отже, для n-канальної СМО з відмовами граф станів має вигляд, наведений на рис. 6.

S0

S1

S2

S3

Sn

    

 2 3 4 n

Рис.6. Граф станів багатоканальної СМО

Такою самою процедурою, що здійснювалась для дво- та три- канальних СМО, можна отримати ймовірність перебування системи у кожному стані j (j=1,…,n):

(19) Ймовірність того, що всі канали вільні:

(20)

Ймовірність відмови (тобто ймовірність того, що усі канали зайняті) дорівнює p_n , а відносна пропускна здатність такої системи:

q = 1 - p_n .

Звичайно, що більша кількість каналів, то вища ймовірність обслугування, але при цьому може знизитися ефективність роботи системи через простой у цих каналах та зайві витрати на їх обслуговування.

Для багатоканальних СМО вводиться ще один параметр – середня кількість зайнятих каналів:

(21)