3. Практичне застосування тмо

Приклад 1. Виробнича система з двох технологічних ліній випускає деяку продукцію. Граф станів такої системи на рис.1. Друга технологічна лінія у даній системі сучасніша і має продуктивність вдвічі більшу, ніж перша. Перша лінія приносить прибуток за одиницю часу 50, а друга – 100 грн. Відмови другої лінії відбуваються у середньому вдвічі частіше, ніж першої, тому 1=1, 2=2. Інтенсивності потоків закінчень ремонтів: 1=2, 2=1. Нехай передбачена деяка раціоналзіація, яку можна застосувати тільки до однієї лінії. Це дає змогу вдвічи скоротити час ремонту або першої, або другої лінії. Це – конкретний приклад практичної ситуації, коли, користуючись ТМО, потрібно прийняти рішення яку саме з двох ліній вибрати.

Розв’язання. Використовуючи задані інтенсивності відмов пристроїв і потоків закінчень ремонтів, запишемо рівняння Колмогорова у такому вигляді:

3р₁ = 2р₂+1р₃;

4р₂=р₁+1р₄;

2р₃=2р₁+2р₄;

р₁+р₂+р₃+р₄ = 1.

Розв’язавши цю систему рівнянь, знаходимо р₁=0,22; р₂=0,11; р₃=0,44; р₄=0,22. Це означає, що в середньому 22 % часу обидві лінії працюють одночасно (стан S1), 11 % часу працює тільки друга лінія, а перша при цьому ремонтується (стан S2), 44 % часу працює тільки перша лінія, а друга при цьому ремонтується (стан S3), 22 % часу обидві лінії одночасно перебувають у стані ремонту (стан S4). Неважко підрахувати прибуток, що його дає система з двох ліній за одиницю часу:

(50+100)0,2+1000,2+500,27= 66,67 грн.

Припустимо, обирається перша лінія. У результаті раціоналізації інтенсивність потоку закінчень ремонтів цієї лінії збільшується вдвічі, отже, 1=4, а інші інтенсивності залишаються такими самими ж: 1=1, 2=2, 2=1. Система рівнянь Колмогорова набуває такого вигляду:

3р₁ = 4р₂+1р₃;

6р₂=р₁+1р₄;

2р₃=2р₁+4р₄;

р₁+р₂+р₃+р₄ = 1.

Розв’язуючи цю систему рівнянь, знаходимо р₁=0,27; р₂=0,07; р₃=0,53; р₄=0,13.

Прибуток: (50+100)0,27+500,53 +1000,07= 73,33 грн.

Якщо ж вибрати для раціоналзіації другу лінію, збільшується вдвічі інтенсивність потоку ремонтів другої лінії 2=2; 1=1, 2=2, 1=2. Рівняння Колмогорова:

3р₁ = 2р₂+2р₃;

4р₂=р₁+6р₄;

3р₃=2р₁+2р₄;

р₁+р₂+р₃+р₄ = 1.

Розв’язуємо цю систему: р₁=0,33 р₂=0,17; р₃=0,33; р₄=0,17.

Добуток: (50+100)0,33+500,33+1000,17 = 83,33 грн.

Отже, слід застосувати раціоналзіацію до другої лінії.

Приклад 2. Деяка ділянка випускає за одну годину 100 виробів, тобто інтенсивність потоку  = 1,7 виробів за 1 хв. На цій ділянці працює контрольний прилад, який вибірково перевіряє виготовлені вироби, середня тривалість контрольних операцій s = 1,3 хв. Якщо в момент надходження чергового виробу контрольний прилад зайнятий, то цей виріб відразу передається на подальші операції без проміжного контролю. Виробництво неперервне і продовжується до знаходження дефекту в одному з виробів. У цьому випадку виробничий процес зупиняється і з’ясовуються причини браку.

Слід визначити, яка частина вироблюваної продукції за таких умов підлягає контролю і яка частина пропускається на подальші операції без контролю (тобто, яка частина отримує відмову від проходження контрольних операцій).

Розв’язання. Визначимо параметр  потоку обслугування:  = 1 / 1,3 = 0,77. Відносна пропускна здатність обчислюється за формулою (9) q = 0,77 / (1,7 + 0,77) = 0,31. Таким чином, контрольним операціям підлягає 31 % продукції. Абсолютна пропускна здатність А = 1,70,31 = 0,53. Ймовірність відмови в обслуговуванні, тобто спрямування на подальшу обробку без контролю, Р_відм=(1  0,31) = 0,69.

Слід зазначити, що якщо для контролю використовується продуктивніше устаткування, дає змогу знизити тривалість контролю вдвічі, а отже, збільшити продуктивність праці контрольного пристрою і таким чином знизити тривалість контрольних операцій, то пропускна спроможність системи підвищиться, але не вдвічі, як може здаватися на перший погляд. Припустимо, що збільшено у два рази інтенсивність потоку обслугування, тобто  = 1,54, а інтенсивність потоку замовлень залишається незмінною. Тоді

q = 1,54 / (1,54 + 1,7) = 0,48.

Отже, контролюватися буде 48 % всіх виробів.

Приклад 3. Провести розрахунки за даними прикладу 2, за умови, що на виробництві встановлюється два контрольних прилади, які мають однакову інтенсивність обслуговування  = 0,77.

Розв’язання. Розглянемо двоканальну СМО ( див. рис.4), у якій  = 1,7. Отримуємо q=1-р₂=57 %. Отже, можна зробити висновок, що продуктивність двох контрольних приладів більша, ніж одного, що працює вдвічі швидше.

Приклад 4. Провести розрахунки за даними прикладу 2 за умови, що на виробництві встановлюється три контрольних прилади.

Розв’язання. Для триканальної СМО за формулою (19) отримуємо q = 1р3=76 %.

Підрахуємо середню кількість зайнятих каналів: K_сер = 1,68. За результатом бачимо, що роботи не вистачає для завантаження навіть двох контрольних пристроїв, але й усі три не забезпечують 100 %-ну перевірку всієї випущеної продукції. Причина цього полягає у випадковому характері надходження виробів на контроль.

Можна перевірити, що буде, якщо збільшити кількість контрольних приладів. Хоча, мабуть, очевидно, що такі дії не будуть ефективними.

Наприклад, у виробничий системі з чотирма контрольними приладамиі і з тими самими інтенсивностями потоків, отримуємо q = 88 %, а середнє число зайнятих каналів

K_сер = 1,94.

Тепер зрозуміло, що збільшуючи кількість контрольних приладів, не можна досягти 100 %-ної перевірки усієї продукції. Отже, требазмінити саму систему обслуговування, перейти до СМО з очікуванням.

Приклад 5. Розглянемо систему контролю продукції, у якій контрольний прилад буде перевіряти всю продукцію. Якщо продукція надходить, коли контрольний прилад зайнятий, вона очікує, поки він звільниться.  = 1,4,  = 0,8. Проведемо розрахунки щодо інтенсивності навантаження та середньої довжини черги модернзіованої системи контролю, коли пропускна спроможність контрольного приладу збільшується вдвічі.

Розв’язання. Інтенсивність навантаження за формулою (22) становить:

Отже, даний режим контролю неможливий, оскільки черга буде інтенсивно і неперервно зростати.

Якщо модернзіувати контрольне устаткування і підвищити пропускну спроможність устаткування вдвічі:  = 1,6;

 = 1,4 /1,6 = 0,875 < 1.

Оскільки у системі будуть перевірятися усі 100 % виробів, то параметри відносної та абсолютної пропускної здатності втрачають сенс.

Середня довжина черги (середня кількість виробів, що вони очікують звільнення контролера) розраховується за формулою (26):

Середня кількість виробів, що містяться у системі за формулою (27):

Середній округлений час очікування у системі контролю визначається за формулою (1.28):

Час очікування перебуває у допустимихмежах, і модернзіовану систему технічного контролю з очікуванням можна вважати такою, що забезпечує 100 %-ну перевірку усіх виробів. Ймовірність створення черги при заданих інтенсивностей потоку виробів і продуктивності контролю визначається за формулою (29) p_k = 0,77.

Приклад 6. У цеху наявний один пристрій, яким за потребикористуються усі ланки. Продуктивність пристрою досить велика і може задовольнити обслугування всіх ланок, але через випадковий характер виникнення потреб, у деякі моменти пристрій зайнятий і накопичується черга. Треба знати середній час очікування і на скільки може знижуватись продуктивність цеху, якщо утворюється черга.

Розв’язання. У разі роботи одного пристрою дану задачу можна подати у вигляді одноканальної СМО з необмеженою чергою:

 =  / .

При  > 1 черга росте необмежено.

При  < 1 маємо такі показники.

Ймовірність відсутності черги

p₀ = 1  .

Ймовірність черги з k замовлень:

p_k+1 = ^k+1 ( 1   ) або p_k+1 = ^k+1 p₀.

Середній час очікування в системі дорівнює сумі часу очікування у черзі і часу обслуговування. Оскільки середня швидкість обслуговування дорівнює , то середня тривалість обслуговування дорівнює 1, отже,

Середній час очікування обслуговування

Cередній час обслуговування

Середня кількість замовлень у черзі

Cередня кількість замовлень у системі (з урахуванням обслугування замовлень)

L_s = L_q + .

Середній час перебування замовлення у черзі:

W_q = ( 1 / ) L_q.

Середній час перебування замовлення в системі:

W_s = ( 1 / ) L_s.

Якщо відомі втрати від простою за одиницю часу С, то загальні втрати від простою становлять С W_s .