Розв’язання

Дану задачу можна подати у вигляді одноканальної системи з необмеженою чергою. Граф станів такої системи показаний на рис.9.

    

S₀

S₁

S₂

S_k+1

    

Рис.9 .

Стани системи:

S₀ – канал вільний (черги немає );

S₁ – канал зайнятий (розвантажується одна машина);

S₂ – канал зайнятий, у черзі є одне замовлення;

S₃ – канал зайнятий, у черзі – два замовлення;

…

S_k+1 – канал зайнятий, у черзі перебувають (k–1) замовлень.

Ця система характеризується нескінченним числом дискретних станів.

Ймовірність обслугування без черги (стан S₀)

p₀ = 1 – 

Ймовірність черги з k замовлень:

p_k+1 = ^k+1 p₀.

Якщо умова  < 1 (<) не виконується, то стаціонарний режим у розглядуваній системі не утворюється і черга при t   росте необмежено.

Проведемо розрахунки за допомогою програми MathcCad.

За результатами розрахунків <1, тобто у системі утворюється стаціонарний режим.

Завдання 3

Частина устаткування виробничої дільниці з часом виходить з ладу і ремонтується. Відмови устаткування, як і терміни ремонту, – випадкові величини. Коли ремонтна бригада вільна, вона відразу приймається за роботу, а коли ремонтники зайняті, устаткування чекає своєї черги. Доки устаткування перебуває у ремонті або очікує ремонту випуск продукції на ньому не відбувається і загальне виробництво зменшується. Слід визначити, яка середня продуктивність ділянки у даних умовах і які міри потрібні для її підвищення. Отже, потрібно знайти оптимальне співвідношення витрат, що пов’язані з очікуванням ремонту, і витратами на збільшення ремонтних бригад.

Розв’язання

Аналітично відомі інтенсивність потоку відмов устаткування  і інтенсивність потоку обслугування  за зміну. Відомі також втрати за одиницю часу: від простою устаткування – n умовних одиниць, на утримання однієї бригади – m умовних одиниць.

Менеджерів з організації виробничого процесу, цікавить середній час очікування обслугування і середній час обслугування за різної кількості ремонтних бригад s. Також важливо знайти оптимальну кількість ремонтних бригад з урахуванням витрат за одиницю часу на простої і на утримання бригади.

1. Розрахуємо показники роботи СМО з одним каналом обслуговування.

У разі роботи однієї бригади цю задачу можна подати у вигляді одноканальної системи обслугування з необмеженною чергою:

 =  / .

При  > 1 черга росте необмежено.

При  < 1 маємо такі показники.

Ймовірність відсутності черги

p₀ = 1– .

Ймовірність черги з k замовлень:

p_k+1 = ^k+1 ( 1 –  ) або p_k+1 = ^k+1 p₀.

Середній час очікування в системі:

За результатами розрахунків:

2. Розрахуємо показники СМО для s ремонтних бригад та приймемо рішення про їх оптимальну кількість з урахуванням витрат на простої – n грн за одиницю часу і на утримання бригади – m грн за одиницю часу).

Якщо працює s бригад, задачу можна описати як багатоканальну систему з необмеженою чергою.

Значення  / s може бути більше за 1.

Якщо  / s  1, тоді черга зростає до нескінченності.

Якщо  / s < 1, то існують фінальні ймовірності.

Ймовірність відсутністі черги:

Середня кількість устаткування у черзі:

Cередня кількість устаткування в системі обслуговування

W_s=W_q+1/.

Домноживши ліву і праву частину рівняння на , отримуємо:

L_s = L_q + .

Середній час перебування устаткування у черзі:

W_q = L_q / .

Середній час перебування устаткування в системі:

W_s =( 1 / ) L_s.

Припустимо, що витрати за одиницю часу на простій становлять 7 ум. од., і на утримання однієї бригади – 5 ум. од. Тоді отримуємо такі результати за рзіної кількості бригад (припустимо, що  = 1,6,  = 0,9,  = 1,77 ):

Аналзі результатів. За результатами розрахунків бачимо, що при s = 2: W_s = 17,43, загальні витрати V=717,43 + 52 = =131,99 ум. од.

При s = 3: W_s = 1,5, загальні витрати

V=71,5 + 53 = 25,54 ум од.

При s = 4: W_s = 1,18, загальні витрати V = 71,18 + 54 = = 28,24 ум. од.

Бачимо, що з економічної точки зору вигідно тримати три ремонтні бригади.