2.2. Системи масового обслуговування з очікуванням

Розглянемо СМО з одним каналом, на вхід якого надходять замовлення інтенсивністю . Замовлення, що надішло у момент, коли канал зайнятий, стає у чергу і очікує. Граф станів такої системи наведений на рис. 7.

   

S0

S1

S2

Sk

   

Рис.7. Граф СМО з очікуванням

Стан S0 відповідає вільному каналу; S1 – канал зайнятий і черги немає, S2 – канал зайнятий і одне замовлення пербуває у черзі; S3 – у черзі два замовлення і т.д. У стані Sk – канал зайнятий і у черзі к - 1 замовлення. За стрілками зліва направо систему з одного стану в інший переводить потік замовлень інтенсивністю , а за стрілками справа наліво - потік обслуговувань інтенсивністю . Кожного разу під час переходу з одного стану в інший черга змінюється на одиницю.

Для визначення ймовірності початкового стану можна використати рівняння (12):

р₀ = р₁.

Звідси

р₁=(/)p₀. Величину

=/ (22) називають інтенсивністю навантаження СМО.

Для стійкої роботи СМО з очікуванням потрібно, щоб середня інтенсивність потоку обслуговування була більше інтенсивності потоку замовлень, тобто  < , отже,  < 1. Якщо  > , система не впорається з обслуговуванням і черга буде зростати до нескінченності.

З використанням введених позначень та формул (12),(22), ймовірність стану S1 можна записати у вигляді:

р₁=p₀. (23) Щоб отримати ймовірності p₂ i p₃,…,p_k можна використати отримані раніше вирази для стану S1:

p₁+p₁=p₀+p₂.

Оскільки p₀=p₁ та p₂=p₁,

p₂=p₁ = ² p₀.

Аналогічно для стану S2: p₃ = ³ p₀ . І.т.д.:

p_k=^kp₀. (24) Для визначення р₀ запишемо вираз для суми ймовірностей:

p₀ +  p₀ + ² p₀ +…+ ^k p₀ = 1.

Ліва частина останнього виразу є сумою членів геометричної прогресії, тому вона дорівнює 1/(1- ). Тому p₀ = 1 - . Звідси отримуємо

p_k=^k(1-). (25) Використовуючи цей вираз, можна визначити характеристики СМО з очікуванням, важливі для її функціонування: середню довжину черги Lq, середнє число замовлень в системі Ls, середній час перебування замовлення в системі Ws, середня тривалість очікування замовлення у черзі Wq і ймовірність утворення черги р_к.

З ймовірністю p₂ у черзі перебуває одне замовлення, з ймовірністю p₃ – два замовлення і з ймовірністю p_k у черзі – (k-1) замовлення.

Отже,

Lq=1p₂ +2p₃ +…+(k-1)p_k=²(1-)(1+2+3²+…+k^k-1).

Cума геометричної прогресії

1+2+3²+…+k^k-1= 1/(1-)².

Тому середня довжина черги:

(26) Середня кількість замовлень, що перебуває у системі обслугування Ls , складається з середньої кількості замовлень у черзі та середньої кількості замовлень на обслуговуванні (включаючи інтервали, коли черги не було):

Ls=0p₀+1p₁+2p₂+…+ kp_k.

Ця величина набуває значення 0, коли канал вільний, ймовірність такого стану дорівнює p₀ = 1 - .

Якщо канал зайнятий і одне замовлення обслуговуються Ls = 1, ймовірність такої події: p₁=1 – p₀ = .

Отже,

(27) Середній час очікування у черзі дорівнює середній кількості замовлень у черзі, поділеному на інтенсивність потоку обслуговування:

або

(28) Ймовірність утворення черги дорівнює ймовірності того, що у системі буде більше однієї вимоги, тобто:

Pk = 1– p₀ – p₁=1– (1 – ) – (1 – ) = ² (29)

Середній час перебування замовлення у системі або (30)