Простые проценты в потребительском кредите
Потребитель, приобретая некоторый товар, цена которого равна P, получает от продавца кредит на всю сумму (или на ее остаток, если часть этой суммы он выплачивает в момент покупки). Кредит дается на t лет под простые проценты по годовой ставке i. Сумма долга покупателя рассчитывается по формуле (1.2) и, как правило, погашается равными платежами q, которые выплачиваются m раз в год. Величина платежа определяется по следующей формуле [3]:
Задача №7. Покупатель приобрел телевизор стоимостью 4500 грн. в кредит, уплатив сразу 1500 грн. и обязавшись уплатить остальное в течение 1 года, делая ежеквартальные равные платежи. Какую сумму он должен выплачивать каждый квартал, если продавец требует за кредит 6% простых в год?
Решение. Сначала рассчитаем сумму остатка, на которую должны начисляться проценты по потребительскому кредиту:
P = 4500 – 1500 = 3000 грн.
Затем по формуле (1.2) вычислим сумму, которую предстоит выплатить покупателю:
S = P (1 + n i) = 3000 (1 + 0,06 1) = 3000 1,06 = 3180 грн.
Наконец получим размер ежеквартального погасительного платежа:
q = 3180 / 4 = 795 грн.
Реализовать приведенный выше расчет величины ежеквартального платежа в Excel.
Задача №8. Покупатель приобрел персональный компьютер стоимостью 15000 грн. в кредит под 8,5% простых в год, уплатив сразу 5000 грн. и обязавшись уплатить остальное в течение полутора лет, делая ежеквартальные равные платежи. Какую сумму он должен выплачивать каждый квартал, чтобы в срок погасить кредит? Реализовать расчет величины ежеквартального платежа в Excel.
Сложные проценты
В среднесрочных и долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются сразу же после их начисления, а присоединяются к сумме ссуды, для подсчета наращенной суммы применяются сложные проценты. База для начисления сложных процентов увеличивается с каждым периодом начисления (процентным периодом).
В конце первого периода к исходной сумме P прибавляется сумма процентов, начисленных за этот период, P i.
В общем случае к концу n-го периода наращенная сумма:
Sn = P (1 + i)n. (2.1)
Множитель (1 + i)n называется множителем наращения. При выводе формулы (2.1) предполагалось, что число периодов n является целым, хотя на практике часто приходится вычислять суммы, наращенные за нецелое число периодов начисления. По определению для произвольного (возможно, нецелого) числа периодов t наращенная сумма рассчитывается по общей формуле:
St = P (1 + i)t. (2.2)
Задача №1. Банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент положил в этот банк 20000 грн. Какая сумма будет на его счете: а) через 5 лет; б) через 6 лет и 3 месяца? Сравнить полученную сумму с наращенной суммой, которая могла быть получена в случае выплаты простых процентов.
Решение. Применяя базовую формулу (2.2), находим наращенную сумму S для сложных процентов при
а) P = 20000 грн., i = 0,08, t = 5:
S = 20000 (1 + 0,08)5 = 20000 1,469328 = 29386,56 грн.
При расчете простых процентов при заданных исходных данных наращенная сумма равна:
S = 20000 (1 + 0,08 5) = 20000 1,4 = 28000 грн.
б) P = 20000 грн., i = 0,08, t = 6,25:
S = 20000 (1 + 0,08)6,25 = 20000 1,617702 = 32354,04 грн.
При расчете простых процентов при заданных исходных данных наращенная сумма
S = 20000 (1 + 0,08 6,25) = 20000 1,5 = 30000 грн.
Реализовать приведенные выше вычисления с помощью Excel, использовав в формулах встроенную математическую функцию СТЕПЕНЬ.
Как правило, ставка сложных процентов указывается на период, равный году, но начисление сложных процентов может производиться каждое полугодие, квартал, месяц или даже день. При этом за каждый такой период, равный 1/m части года, начисляются сложные проценты по ставке i/m сложных процентов, т.е. формула (2.2) примет следующий вид [2]:
где t - длительность промежутка времени, в течение которого начисляются сложные проценты (измеряется в годах). Например, в случае одного квартала t = 0,25.
Чтобы показать, что при годовой ставке сложных процентов i начисление сложных процентов производится m раз в год по ставке i/m эту ставку обозначают как jm. Тогда формула (2.3) преобразуется к виду
Задача №2. Решить предыдущую задачу при j4 = 8% и j12 = 8%.
Решение. Применяя формулу (1.11), находим наращенную сумму S для сложных процентов при j4 = 8%:
Наращенная сумма S для сложных процентов при j12 = 8% будет равна:
Решение применительно к случаю б) задачи №1 получить самостоятельно. Использовать в расчетах возможности Excel.
Примечание. Из приведенных выше расчетов видно, что при увеличении числа периодов начисления процентов при той же годовой процентной ставке наращенная сумма, полученная за одно и то же время, увеличивается.
Как отмечалось выше, дисконтирование - это операция обратная наращению. Дисконтирование по ставке сложных процентов, когда проценты начисляются m раз в году, осуществляется следующим образом [3]:
D = S – P. (2.6)
В этом случае величина P называется современной стоимостью S, а величина D - дисконтом.
Задача №3. Гражданин Смирнов может вложить деньги в банк, выплачивающий j12 = 7%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 3000 грн. через 4,5 года? Реализовать вычисления с помощью Excel, использовав в формуле встроенную математическую функцию СТЕПЕНЬ.
Задача №4. Гражданин хочет вложить 5000 грн. в банк, чтобы через 2 года получить 7000 грн. Под какую процентную ставку j4 он должен вложить свои деньги? Реализовать вычисления с помощью Excel, использовав в формуле встроенную математическую функцию СТЕПЕНЬ.
Задания
Вариант №1
1. Банк начисляет ежегодно 5% сложных. Клиент положил в этот банк 18000 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 6 лет; 1.2 через 3 года и 9 месяцев? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j4 = 5%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j12 = 6%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 1200 грн. через 3 года 4 месяца, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 18000 грн. в банк, чтобы через 2 года и 6 месяцев получить 27000 грн. Под какую процентную ставку j6 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №2
1. Банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент положил в этот банк 7000 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 4 года; 1.2 через 5 лет и 2 месяца? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j12 = 8%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j4 = 8%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 7000 грн. через 4 года 5 месяцев, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 6000 грн. в банк, чтобы через 3 года и 6 месяцев получить 9000 грн. Под какую процентную ставку j6 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №3
1. Банк начисляет ежегодно 6% сложных. Клиент положил в этот банк 1500 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 7 лет; 1.2 через 2 года и 8 месяцев? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j12 = 6%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j6 = 5%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 8500 грн. через 5 лет 2 месяца, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 15000 грн. в банк, чтобы через 4 года и 3 месяца получить 25000 грн. Под какую процентную ставку j4 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №4
1. Банк начисляет ежегодно 11% сложных. Клиент положил в этот банк 12000 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 4 года; 1.2 через 5 лет и 8 месяцев? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j6 = 11%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j4 = 9%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 5000 грн. через 4 года 6 месяцев, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 25000 грн. в банк, чтобы через 3 года и 4 месяца получить 30000 грн. Под какую процентную ставку j12 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №5
1. Банк начисляет ежегодно 13% сложных. Клиент положил в этот банк 17000 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 3 года; 1.2 через 4 года и 7 месяцев? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j12 = 13%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j6 = 9%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 25000 грн. через 6 лет и 4 месяца, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 16000 грн. в банк, чтобы через 5 лет и 6 месяцев получить 25000 грн. Под какую процентную ставку j4 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №6
1. Банк начисляет ежегодно 6% сложных. Клиент положил в этот банк 17000 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 2 года; 1.2 через 5 лет и 3 месяца? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j4 = 6%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j12 = 7%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 95000 грн. через 7 лет 5 мес., если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 1000 грн. в банк, чтобы через 2 года и 4 месяца получить 1500 грн. Под какую процентную ставку j6 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №7
1. Банк начисляет ежегодно 7% сложных. Клиент положил в этот банк 15200 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 7 лет; 1.2 через 4 года и 4 месяцев? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j6 = 7%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j4 = 8%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 12500 грн. через 4 года 6 месяцев, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 22000 грн. в банк, чтобы через 3 года и 3 месяца получить 25000 грн. Под какую процентную ставку j12 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №8
1. Банк начисляет ежегодно 9% сложных. Клиент положил в этот банк 32000 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 6 лет; 1.2 через 5 лет и 3 месяца? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j12 = 9%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j6 = 11%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 13000 грн. через 5 лет 7 месяцев, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 12100 грн. в банк, чтобы через 4 года и 6 месяцев получить 15000 грн. Под какую процентную ставку j4 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №9
1. Банк начисляет ежегодно 12% сложных. Клиент положил в этот банк 2300 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 4 года; 1.2 через 5 лет и 9 месяцев? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j4 = 12%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j12 = 13%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 2500 грн. через 3 года 7 месяцев, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 18500 грн. в банк, чтобы через 6 лет и 4 месяца получить 21000 грн. Под какую процентную ставку j6 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №10
1. Банк начисляет ежегодно 15% сложных. Клиент положил в этот банк 15600 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 2 года; 1.2 через 7 лет и 2 месяца? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j6 = 15%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j4 = 12%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 16000 грн. через 3 года 5 месяцев, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 3500 грн. в банк, чтобы через 4 года и 3 месяца получить 5000 грн. Под какую процентную ставку j12 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №11
1. Банк начисляет ежегодно 7% сложных. Клиент положил в этот банк 1000 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 6 лет; 1.2 через 3 года и 4 месяцев? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j12 = 7%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j6 = 11%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 3000 грн. через 2 года и 3 месяца, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 12000 грн. в банк, чтобы через 6 лет и 7 месяцев получить 14000 грн. Под какую процентную ставку j4 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №12
1. Банк начисляет ежегодно 4% сложных. Клиент положил в этот банк 28000 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 7 лет; 1.2 через 4 года и 5 месяцев? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j4 = 4%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j12 = 11%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 19000 грн. через 6 лет 6 мес., если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 35000 грн. в банк, чтобы через 5 лет и 3 месяцев получить 40000 грн. Под какую процентную ставку j6 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №13
1. Банк начисляет ежегодно 9% сложных. Клиент положил в этот банк 13000 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 5 лет; 1.2 через 2 года и 4 месяца? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j4 = 9%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j12 = 7%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 2300 грн. через 2 года 6 месяцев, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 15000 грн. в банк, чтобы через 4 года и 5 месяцев получить 165000 грн. Под какую процентную ставку j6 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №14
1. Банк начисляет ежегодно 14% сложных. Клиент положил в этот банк 8500 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 4 года; 1.2 через 6 лет и 3 месяца? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j12 = 14%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j3 = 8%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 20000 грн. через 4 года 8 месяцев, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 12000 грн. в банк, чтобы через 5 лет и 7 месяцев получить 135000 грн. Под какую процентную ставку j6 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №15
1. Банк начисляет ежегодно 8% сложных. Клиент положил в этот банк 3000 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 4 года; 1.2 через 5 лет и 4 месяца? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j6 = 8%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j12 = 9%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 15500 грн. через 7 лет 6 месяцев, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 19200 грн. в банк, чтобы через 2 года и 7 месяцев получить 21200 грн. Под какую процентную ставку j3 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №16
1. Банк начисляет ежегодно 10% сложных. Клиент положил в этот банк 13500 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 3 года; 1.2 через 7 лет и 6 месяцев? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j4 = 10%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j6 = 7%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 18100 грн. через 5 лет 3 месяца, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 16500 грн. в банк, чтобы через 4 года и 7 месяцев получить 18000 грн. Под какую процентную ставку j12 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №17
1. Банк начисляет ежегодно 4% сложных. Клиент положил в этот банк 1710 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 2 года; 1.2 через 5 лет и 4 месяца? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j12 = 4%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j3 = 11%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 12500 грн. через 7 лет и 6 месяцев, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 16800 грн. в банк, чтобы через 3 года и 5 месяцев получить 19000 грн. Под какую процентную ставку j4 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |
Вариант №18
1. Банк начисляет ежегодно 6% сложных. Клиент положил в этот банк 19500 грн. Какая сумма будет на его счете: 1.1 через 4 года; 1.2 через 7 лет и 3 месяца? 1.3, 1.4 Рассчитать суммы в случае выплаты простых процентов. 1.5 Решить при условии, что проценты начисляются несколько раз в год j6 = 6%. |
2. Гражданин может вложить деньги в банк, выплачивающий j12 = 12%. Какую сумму ему следует вложить, чтобы получить 5000 грн. через 4 года 6 месяцев, если наращивание происходит: 2.1 сложными процентами; 2.2 простыми процентами. |
3. Гражданин хочет вложить 11500 грн. в банк, чтобы через 3 года и 5 месяцев получить 13200 грн. Под какую процентную ставку j6 он должен вложить свои деньги, если наращивание происходит: 3.1 сложными процентами; 3.2 простыми процентами. |