Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

УМК Математический анализ.doc

Скачиваний:

Добавлен:

18.11.2019

Размер:

1.57 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 53 4 5 > Следующая >>>

Тема 6.

1. Что называется суммой сходящегося степенного ряда?

2. Почему при исследовании сходимости ряда можно отбрасывать любое конечное число его членов?

3. Можно ли утверждать, что ряд сходится, если предел его общего члена равен нулю?

4. Сформулируйте признак Даламбера и интегральный признак Коши сходимости ряда. Сформулируйте теорему сравнения рядов.

5. Какие знакопеременные ряды называются абсолютно сходящимися и какие - условно сходящимися? Сформулируйте признак Лейбница.

6. Приведите примеры степенных рядов, имеющих нулевой, конечный и бесконечный радиус сходимости.

7. Выпишите разложения в ряд Маклорена функций: е^х , , sin х, ln(l + х). Каковы области сходимости получившихся рядов?

Дополнительная литература:

[8] Шипaчев В.С. Высшая математика. – М.: Высшая Школа, 1998.

[9] Данко П. Е., Попов А Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1, П. – М.: Высшая школа, 1980.

[10]. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов./ под ред. Б.П. Демидовича. – М.: Наука, 1979.

[11]. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 1966.

[12]. Ильин В. А, Поздняк Э. Г. Основы математического анализа. Т. 1, 2. – М.: Наука, 1972.

[13]. Высшая математика для экономистов (под ред. проф. Н.М. Кремера). – М.: Банки и биржи, издательское объединение ЮНИТИ, 1998.

[14]. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Физматгиз, 1962

Методические указания к решению первой контрольной работы

В этом параграфе приведён разбор решений задач типового варианта контрольной работы по математическому анализу.

ЗАДАЧА 1. Вычислить пределы функций а) - е):

А)

Анализ задачи. Так как для данных дробей степень числителя больше степени знаменателя, то

и . Поэтому мы имеем дело с неопределённостью ∞ –∞. Следовательно, теоремой о пределе разности воспользоваться нельзя и необходимо провести тождественные преобразования выражения, находящегося под знаком предела.

Решение. Приводим выражение к общему знаменателю:

= = =

= = = /значение дроби не изменится, если ее числитель и знаменатель разделить на одно и то ж е ненулевое число/ =

Следовательно, =

Ответ: 3

Б)

Решение. Вычислим сначала предел логарифмируемого числа:

Из непрерывности функции у(х)=log₃x следует, что если предел lim _x-> f(x) существует. Поэтому

Ответ: -1

Теорема (Первое правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в некоторой окрестности точки а. Если пределы функций равны нулю и

и если существует предел отношения производных , то предел отношений функций равен пределу отношения производных =

Теорема (Второе правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные в некоторой окрестности точки а. Если пределы функций равны бесконечности и и если существует предел отношения производных , то предел отношения функций равен пределу отношения производных =

в)

Анализ задачи. В данном случае, непосредственное применение теоремы о пределе частного невозможно, поскольку, как показывает подстановка числа -3 вместо х, и предел числителя и предел знаменателя равны нулю.

Таким образом, рассматриваемый предел представляет собой неопределённость вида и для решения задачи требуется провести тождественные преобразования выражения, находящегося под знаком предела.

Решение. Разложим числитель и знаменатель на множители, пользуясь следующей теоремой: если х₁, х₂ - корни квадратного трехчлена ах² + bx + с, то ах² + bх + с = а (х - х_l) (х - х₂). Решаем квадратное уравнение, находя его дискриминант D.

3х² + 8х -= 3 = о; D = b² - 4ас = 8² + 4 *3 * 3 = 100;

х_1,2_;х₂= -3.

Отсюда, 3х' + 8х - 3 = 3 (х - ) (х - (-3)) = (3х -l)(x + 3).

Аналогично, х² + 5х -+- 6 = 0 <=> x_l = -2; х₂ = -3;

Поэтому х² + 5х + 6 = (х + 2)(х + 3).

Преобразуем выражение, находящееся под знаком предела:

/так как функция у= непрерывна в точке х= -3, подставляем х= -3/= .

Другое решение задачи. Поскольку пределы числителя и знаменателя при х→ -3 равны нулю, применимо правило Лопиталя.

Ответ: 10

г) .

Анализ задачи. Подстановка числа 2 вместо х показывает, что пределы числителя и знаменателя равны нулю. Следовательно, нам потребуется раскрыть неопределенность . Для этого можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Решение. Выражение является сопряженным по отношению к выражению , а выражение - по отношению к . Умножая числитель и знаменатель дроби на произведение сопряжённых выражений , и используя формулу разности квадратов , получаем

Другое решение задачи. Воспользуемся правилом Лопиталя

/ так как функция непрерывна в точке х=2, подставляем х=2 / =

Ответ:

Анализ задачи. Подстановка числа 0 вместо х показывает, что предел числителя и предел знаменателя при х→0 равны нулю. Поэтому имеет место неопределённость . Для того, чтобы раскрыть неопределенность можно либо провести тождественные преобразования выражения , либо применить правило Лопиталя.

Решение. Совершим замену неизвестной ; при этом . Так как у=0 при х=0, то у→0.

Используем теперь тригонометрическую формулу

= / применяем первый замечательный предел /

Другое решение задачи. Воспользуемся вновь правилом Лопиталя

/ подставляем x = 0, cos0 = 1 / Ответ:

е)

Решение:

= / замена переменной так как / =

= / предел произведения равен произведению пределов / /

= / используем второй замечательный предел /

Предел вычислен подстановкой

Предел не может быть вычислен подстановкой , поскольку в результате подстановки получается неопределенность . Ответ: .

ЗАДАЧА 2. Вычислить производные функции а) – г):

а) Вычислить производную функции .

Решение. Найдем сначала производную функции :

. Теперь находим в таблице производных сложных функций формулу и, подставляя , получаем Ответ: .

б) Вычислить производную функции .

Решение. Найдем сначала производную функции .

Так как , где , то по таблице производных сложных функций (таблица 2 пункт 2.) находим:

Теперь вычисляем производную функцию у(х), пользуясь формулой производной отношения:

Ответ:

в) Вычислить производную .

Анализ задачи. Функция представляет собой произведение трех функций . Используя правило Лейбница, можно вывести общую формулу:

Следовательно,

Решение.

Ответ:

г) Вычислить производную функцию

Решение. Пользуясь основным логарифмическим тождеством , представим у(х) в виде . Так как , то и поэтому . В последнем равенстве мы вновь воспользовались формулой , читая ее слева на право.

Ответ: .

ЗАДАЧА 3. Исследовать функции и построить их графики:

а) исследовать функцию

Решение.

1) Так как - многочлен, то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой. Таким образом, область определения данной функции вся – числовая прямая:

2) Функция не является ни четной ни нечетной, поскольку ; ; ; .

3) Заметим, что при и при поведение многочлена у(х) определяется поведением его старшего члена , который неограниченно возрастает при и неограниченно убывает при . Поэтому .

Так как функция у(х) определена на всей числовой оси и , график функции не имеет асимптот.

4) – точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение

(в вариантах 5-7 контрольной работы корни уравнения у(х) =0 находятся подбором. Если Вам достался один из этих вариантов, попробуйте подставить числа .

5) Находим локальные экстремумы, а также промежутки возрастания и убывания функции. Для этого вычисляем производную функции , , и решаем уравнение , критические точки . Так как производная не имеет точек разрыва, других критических точек нет. Определяем знак производной справа и слева от каждой критической точки и составляем таблицу:

; ; ;

	- 4		-1
+	0	-	0	+
	максимум		минимум	

Итак, функция возрастает при и при и убывает при ; локальный минимум – , локальный максимум – .

6) используя пункт 3) получаем, что множество значений функции – вся числовая прямая, .

7) Находим точки перегиба функции и устанавливаем промежутки, на которых график функции обращен выпуклостью вверх и вниз. Для этого, прежде всего, вычисляем производную второго порядка и приравниваем ее к нулю:

Для определения знаков второй производной подставляем в нее числа из промежутков и

;

			6
		мах=1,6	4

x₁	-4	-1	2
		min=-1,1

		14

		max ≈ 10.3

		8
	min	6.59
		4
		2
-4	-1	2	6	10

Рис. 1. Графики функций 3.а) и 3.б)


-	0	+
выпуклость вверх	перегиб	выпуклость вниз

Теперь необходимо найти значение функции в точке перегиба и определить угол наклона касательной к графику функции в этой точке: , тангенс угла наклона ³ (угол наклона α равен ) равен значению производной в данной точке . При построении касательной откладываем 2,0 см от точки А (-2,5; 0,25) по оси Ох вправо и 2,7 см вдоль оси Оу вниз и получаем точку В (-2,5+2; 0,25-2,7), В(-0,5;-2,45). Проводим через точки А и В прямую (АВ). График функции у(х) должен касаться прямой (АВ) в точке А.

8) На этом исследование функции закончено и остается лишь вычислить ее значения в некотором числе точек, достаточном для построения графика, и построить график.

б) Исследовать функцию .

Решение.

1). Так как и , то функция у(х) определена и непрерывна на всей числовой прямой.

2) Функция не является ни четной ни нечетной, поскольку ;

/ замена у = -х /

4) Так как , то – точка пересечения графика с осью Оу.

Для определения точек пересечения графика с осью Ох решим уравнение у (х) = 0, т.е. . Так как любая степень числа е положительная, мы можем разделить на обе части уравнения: ; D=81-4*22=-7<0.

Поскольку дискриминант отрицателен, уравнение не имеет корней. Иначе говоря, график функции не пересекает ось Ох и поэтому, в силу своей непрерывности, функция у(х) не меняет своего знака на протяжении всей числовой оси. Отсюда вытекает, что у(х)>0 для всех действительных

чисел х, поскольку у(0)>0.

5) Экстремумы. Промежутки возрастания и убывания.

Для определения критических точек функции решим уравнение

критические точки –

	- 4		-1
+	0	-	0	+
	минимум		максимум	

Локальный минимум – локальный максимум –

6) Используя пункты 3) -5), получаем, что

7) Находим точки перегиба и промежутки выпуклости.

	-3		2
+	0	-	0	+
вып. вниз	перегиб	вып. вверх	перегиб	вып. вниз

Теперь необходимо найти значение функции и значение производной (тангенс угла наклона касательной к графику функции) в точках перегиба:

, и построить касательные графику функции в этих точках.

8) Так как функция определена на всей числовой оси и функция имеет правую горизонтальную асимптоту

9) Строим график функции.

ЗАДАЧА 4. Вычислить неопределенные интегралы а) –г):

а) .

Решение. Решение данной задачи требует знания формулы дифференциала функции . Используя тригонометрическую формулу , получаем:

Пусть . Тогда , и следовательно, по формуле дифференциала. Отсюда .

Последнее равенство получено формулам таблицы интегралов:

(1)

Ответ:

б)

Решение. Решение данной задачи основано на формуле интегрирования по частям:

В этой формуле принимаем за функцию Тогда (так как мы находим первообразную, то «+С» не пишем).

По формуле находим производную второго сомножителя

Подставляя найденные в формулу интегрирования по частям, получаем:

Ответ:

в)

Решение. Так как корнями знаменателя является и , то по формуле , знаменатели раскладываются на множители.

Представим дробь в виде следующей суммы:

и найдем коэффициенты А и В. Приведем дроби в правой части равенства к общему знаменателю:

Приравняв числители, получим

(2) .

Подставляя в последнее равенство находим, что .

Поставляя в равенство (2), находим, что .

Таким образом, .

Итак, .

Здесь мы воспользовались формулой (1).

Ответ: .

г) .

Анализ задачи. Напомним, что в том случае, когда дискриминант квадратного двучлена отрицателен, , справедливо равенство:

Решение. Для вычисления интеграла найдем дискриминант знаменателя и рассмотрим функцию . Для последующей замены переменной вычислим производную знаменателя и заметим, что ; . Отсюда,