- •Содержание курса. Первый семестр.
- •Вопросы для самопроверки
- •Тема 2.
- •Тема 3.
- •Тема 4.
- •Тема 5.
- •Тема 6.
- •Рекомендуемая литература основная литература:
- •Дополнительная литература:
- •Методические указания к решению первой контрольной работы
- •Упражнения
- •Предел последовательности
- •Предел функции. Непрерывность
- •Производная
- •4. Исследование функций
- •5. Интеграл
- •Вариант 0
4. Исследование функций
Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции .
Построить график функции . Найти точки локального экстремума функции и наибольшее значение этой функции на отрезке .
Построить график функции и найти точку минимума этой функции.
Исследовать функцию и построить ее график.
Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: .
Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: .
Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: .
Найти а) точки экстремума функции и б) точки перегиба и направления выпуклости графика функции: .
Приведите пример функции, не обладающей на некотором числовом промежутке наибольшим значением.
Найти асимптоты функции .
5. Интеграл
Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу замены переменной .
Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу замены переменной .
Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу замены переменной .
Используя формулу замены переменной, вычислить неопределенный интеграл .
Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям .
Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям .
Вычислить неопределенный интеграл, используя формулу интегрирования по частям .
Вычислить неопределенный интеграл, используя метод замены переменной .
Вычислить неопределенный интеграл .
Вычислить неопределенный интеграл .
Вычислить определенный интеграл .
Вычислить определенный интеграл .
Найти .
Вычислить определенный интеграл .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Найти .
Найти .
Найти .
Вычислить .
Вычислить неопределенный интеграл .
Приведете пример функции, которую нельзя проинтегрировать в элементарных функциях.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .
Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями: .
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
Формулировки условий задач контрольной работы:
Вычислить предел функции.
Вычислить производную функции.
Исследовать функции и построить их графики.
Вычислить неопределенные интегралы.
Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и .
Вариант 0
1.
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
2.
а) |
б) |
в) |
г) . |
3.
а) |
б) |
4.
а) |
б) |
в) |
г) |
5.
|
|
ВАРИАНТ 1
1.
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
2.
а) |
б) |
в) |
г) |
3.
а) |
б) |
4.
а) |
б) |
в) |
г) |
5.
ВАРИАНТ 2
1.
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
2.
а) |
б) |
в) |
г) |
3.
а) |
|
4.
а) |
б) |
в) |
г) |
5.
ВАРИАНТ 3
1.
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
2.
а) |
б) |
в) |
г) |
3.
а) |
б) |
4.
а) |
б) |
в) |
г) |
5.
ВАРИАНТ 4
1.
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
2.
а) |
б) |
в) |
г) |
3.
а) |
б) |
4.
а) |
б) |
в) |
г) |
5.
ВАРИАНТ 5
1.
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
2.
а) |
б) |
в) |
г) |
3.
а) |
б) |
4.
а) |
б) |
в) |
г) |
5.
ВАРИАНТ 6
1.
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
2.
а) |
б) |
в) |
г) |
3.
а) |
б) |
4.
а) |
б) |
в) |
г) |
5.
ВАРИАНТ 7
1.
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
2.
а) |
б) |
в) |
г) |
3.
а) |
б) |
4.
а) |
б) |
в) |
г) |
5.
ВАРИАНТ 8
1.
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
2.
а) |
б) |
в) |
г) |
3.
а) |
б) |
4.
а) |
б) |
в) |
г) |
5.
ВАРИАНТ 9
1.
а) |
б) |
в) |
г) |
д) |
е) |
2.
а) |
б) |
в) |
г) |
3.
а) |
б) |
4.
а) |
б) |
в) |
г) |
5.
Таблицы и формулы
1. Производные основных элементарных функций
1) Производная константы равна нулю: .
2) , где - любое не равное нулю действительное. В частности, .
3) Показательная и логарифмическая функции.
|
|
|
|
4) Тригонометрические функции
|
|
|
|
5) Обратный тригонометрические функции
|
|
|
|
2. Производные некоторых сложных функций:
1. 2. 3. 4. 5. 6. |
7. 8. 9. 10. 11. 12. |
Правила дифференцирования
3.
4. Константы можно выносить за знак производной
5. Производная суммы равна сумме производной
6.
7.
8. Пусть - сложная функция, и Тогда:
9. Интегрирование, также как и операция дифференцирования, операция вычисления пределов, является линейной; то есть, константы можно выносить за знак интеграла, и интеграл суммы функций равен сумме интегралов. Линейность операции интегрирования можно выразить формулой:
10. Таблица основных неопределенных интегралов:
1) 2) 3) 4) 5) 6)
|
7) 8) 9)
10) |
11) |
11. Замена переменных (метод подстановки):
Если , то . Эта формула позволяет интегрировать произведения, одним из сомножителей которых служит сложная функция
12. Интегрирование по частям:
13. Интегрирование простейших дробей:
1)
2)
3)
14. Если
15. Формула Ньютона-Лейбница где - первообразная, вычисляемая как неопределенный интеграл с