21. Неупорядоченные выборки из n элементов по k без возвращения – сочетания

Итак, здесь решаем следующую комбинаторную задачу:

Даны натуральные числа n и k, причем . Сколько из генеральной совокупности объема n можно извлечь неупорядоченных выборок без возвращения объема k ?

Если обозначить искомое число через x, то имеет место равенство , поскольку все выборки объема k, отличающиеся друг от друга только порядком, принимаются за одну, а их число равно числу перестановок из k элементов, т.е. . Стало быть, , и потому:

Число неупорядоченных выборок из n элементов по k равно

Неупорядоченные выборки из п элементов по k называют сочетаниями из п по k, а их число, которое мы обозначили буквой х, обозначают или .

Таким образом, .

24.Употребление термина «случайный» в теории вероятностей

В предыдущем параграфе получена следующая

Теорема. Число различных выборок объема к из генеральной совокупности, содержащей n элементов, равно n^k, если производится выбор с возвращением, и n(n-1)…(n-k+1) если производится выбор без возвращения.

Обычно всем различным выборкам приписывают равные вероятности и говорят при этом о случайных выборках. Термин «случайный», вообще говоря, не имеет строгого математического определения, но в тех случаях, когда он прилагается к выборкам или выбору, ему придается вполне определенный смысл, именно: в выражении «случайная выборка фиксированного объема r» прилагательное «случайная» означает, что все выборки имеют одинаковую вероятность (равную n^-r в случае выбора с возвращением и 1/(n(n-1)…(n-k+1))_, в случае выбора без возвращения, где через n обозначен объем генеральной совокупности, из которой производится выбор).

Таким образом, слово «случайная» («наугад», «наудачу») предполагают такое задание вероятности, при котором все элементарные события равновероятны: если пространство элементарных событий  содержит N элементов, то вероятность каждого элементарного события  равна 1N.

Вероятность выборки  объема к с возвращением равна , без возвращения .