- •1.1. Вычисление определителей
- •1.2. Линейные операции над матрицами
- •1.3. Умножение матриц
- •1.4. Ранг матрицы
- •1.5. Обратная матрица
- •1.6. Системы линейных уравнений
- •2.1. Прямоугольные координаты на плоскости
- •2.2. Полярные координаты на плоскости
- •2.3. Прямая на плоскости
- •2.4. Кривые второго порядка
- •2.5. Прямая и плоскость в пространстве
- •2.6. Поверхности второго порядка
- •3.1. Область определения функции
- •3.2. Предел функции
- •3.3. Производные высших порядков
- •3.4. Дифференциальное исчисление фнп
- •3.5. Основные методы интегрирования
- •3.6. Приложения определенного интеграла
- •4.1. Числовые последовательности
- •4.2. Сходимость числовых рядов
- •4.3. Область сходимости степенного ряда
- •4.4. Ряд Тейлора (Маклорена)
- •5.1. Типы дифференциальных уравнений
- •5.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •5.3. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого
- •5.4. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка
- •5.5. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с
- •5.6. Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие
- •6.1. Определение вероятности
- •6.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
- •6.3. Полная вероятность. Формулы Байеса
- •6.4. Законы распределения вероятностей дискретных случайных
- •6.5. Законы распределения вероятностей непрерывных случайных
- •6.6. Числовые характеристики случайных величин
4.2. Сходимость числовых рядов
Тема: Сходимость числовых рядов Сумма числового ряда равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Представим общий член этого ряда в виде суммы простейших дробей: , и вычислим – ую частичную сумму ряда: . Тогда
Тема: Сходимость числовых рядов Сумма числового ряда равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Так как , то сумма данного ряда представляет собой сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии. То есть
Тема: Сходимость числовых рядов Даны числовые ряды: А) , В) . Тогда …
|
|
|
ряд А) расходится, ряд В) сходится |
|
|
|
ряд А) расходится, ряд В) расходится |
|
|
|
ряд А) сходится, ряд В) сходится |
|
|
|
ряд А) сходится, ряд В) расходится |
Решение: Ряд расходится, так как для него не выполняется необходимое условие сходимости. Действительно, . Для исследования сходимости ряда применим признак сходимости Даламбера. Тогда , то есть ряд сходится.
Тема: Сходимость числовых рядов Даны числовые ряды: А) , В) . Тогда …
|
|
|
ряд А) сходится, ряд В) расходится |
|
|
|
ряд А) расходится, ряд В) расходится |
|
|
|
ряд А) сходится, ряд В) сходится |
|
|
|
ряд А) расходится, ряд В) сходится |
Решение: Для исследования сходимости ряда применим радикальный признак сходимости Коши. Тогда , то есть ряд сходится. Для исследования сходимости ряда применим теорему сравнения, для чего воспользуемся расходящимся гармоническим рядом . Тогда , то есть оба ряда расходятся или сходятся одновременно. В нашем случае ряд будет расходится.
4.3. Область сходимости степенного ряда
Тема: Область сходимости степенного ряда Радиус сходимости степенного ряда равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Радиус сходимости этого ряда можно найти по формуле , где Тогда
Тема: Область сходимости степенного ряда Интервал сходимости степенного ряда имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Вычислим предел Интервал сходимости данного ряда определяется как , где . То есть .
Тема: Область сходимости степенного ряда Для степенного ряда вычислен предел . Тогда интервал сходимости данного ряда имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Интервал сходимости данного ряда определяется как , где , . То есть , или .
Тема: Область сходимости степенного ряда Область сходимости степенного ряда имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Вычислим предварительно радиус сходимости этого ряда по формуле , где . Тогда . Следовательно, интервал сходимости ряда имеет вид . Для того чтобы найти область сходимости степенного ряда, исследуем сходимость ряда в граничных точках. В точке ряд примет вид . Данный ряд расходится, так как не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда: В точке получаем знакочередующийся ряд . Аналогично получаем , то есть ряд расходится. Таким образом, область сходимости ряда имеет вид .