Вопросы

Изучая плоские кривые, мы использовали ряд понятий:

1) длина дуги;

2) касательная, нормаль к кривой;

3) кривизна;

4) эволюта, эвольвента;

5) точки возрастания и убывания;

6) точки экстремумов;

7) промежутки выпуклости и вогнутости;

8) точки перегиба.

Если кривая описана уравнением y=f (x), то для всех этих понятий были найдены определяющие их формулы. Будем считать исходную кривую заданной безотносительно к системе координат (вспомните, например, определения окружности, эллипса и т.п.). Какие из указанных 8 понятий не зависят от выбора системы координат?

Задание для самостоятельного решения

1. Исследуйте функции и постройте их графики:

4.17. Формула Тейлора для числовой функции нескольких переменных

Р ассмотрим функцию двух переменных , которая имеет все необходимые производные.

Выберем на плоскости точку и проведем через нее прямую (см. рисунок):

Тогда расстояние от точки до произвольной точки лежащей на этой прямой,

Отсюда, полагая, что зафиксированы, получаем функцию одной переменной t (функцию точки М на выбранной прямой линии):

для которой нетрудно записать формулу Тейлора в окрестности точки

(4.17.1)

так как

Для вычисления производных вспомним, что

Так как здесь x = x(t), y = y(t), то, разделив на получаем

Вычислим, например, дифференциалы первого и второго порядка

Поэтому вместо (4.17.1) можно записать

(4.17.2)

где Выражение (4.17.2) представляет собой формулу Тейлора для числовой функции двух переменных. Аналогично можно записать формулу Тейлора и в случае любого количества переменных.

4.18. Локальные экстремумы функции нескольких переменных

Понятие локального экстремума для функции нескольких переменных вводится аналогично тому, как это сделано для функции одной переменной. Например, для функции ситуация ясна из рис. 4.18.1: полное приращение z должно быть знакопостоянным в некоторой проколотой окрестности точки При этом

Иногда рассматривают так называемые нестрогие экстремумы:

(рис. 4.18.2). Мы такие точки изучать не будем.

Для нахождения локальных экстремумов воспользуемся формулой Тейлора (положим в ней ):

(4.18.1)

Из формулы (4.18.1) сразу следует, что при или величина будет содержать хотя бы одну из разностей или в первой степени. Поскольку при этом то приращение знакопостоянным не будет. Таким образом, имеем необходимые условия экстремума (для дифференцируемой функции):

(4.18.2)

При выполнении условий (4.18.2) касательная плоскость к поверхности будет параллельна плоскости Оху, а соответствующая точка называется стационарной точкой функции .

Пусть выполняются условия (4.18.2), а среди производных второго порядка имеются отличные от нуля в точке .

Тогда согласно (4.18.1)

Выражение в квадратных скобках представляет собой квадратичную форму переменных и с матрицей

(4.18.3)

Для того чтобы в точке функция имела экстремум, достаточным условием является положительная (максимум) или отрицательная (минимум) определенность квадратичной формы, т.е. собственные значения матрицы (4.18.3) должны быть одного знака. Отсюда, обозначив для краткости

получим

т.е. достаточное условие того, чтобы квадратичная форма была положительно или отрицательно определенной:

;

или

Если то и будут иметь различные знаки – это случай минимакса (рис.4.18.3). Квадратичная форма здесь будет знакопеременной, и экстремум отсутствует.

Е сли то одно из чисел равно нулю, и вопрос об экстремуме остается открытым (необходим анализ дифференциалов более высоких порядков).

Таким образом, если выполняются условия (4.18.2), (4.18.4), то в точке функция имеет экстремум (минимум при и максимум при ).

Если количество переменных больше двух, т.е. рассматривается функция , то вопрос в принципе решается аналогично: при выполнении

условий

квадратичная форма, отвечающая дифференциалу

,

должна быть положительно или отрицательно определенной, т.е. все должны иметь один и тот же знак. Однако при этом столь простого условия, как (4.18.4), не получается.

П р и м е р

Исследовать на локальный экстремум функцию

Решение: 1. Вычислим и найдем стационарные точки функции из системы

2. Вычислим и составим

.

В точке имеем Поэтому не является точкой экстремума. В точке имеем Поэтому является точкой минимума, причём