4.20. Производная скалярного поля по направлению. Градиент
Как уже отмечалось, числовые функции нескольких переменных при анализе физических проблем часто называют скалярными полями (поле температур, давлений, электростатического потенциала и т.д.)
Р
ассмотрим
скалярное поле
и проследим за тем, как оно изменяется
в окрестности произвольной точки
по выбранному направлению
(рис.4.20.1). Для этого введем вектор
,
сонаправленный с
.
Будем считать, что точка имеет координаты:
x + x, y + y, z + z, тогда
Запишем полное приращение функции:
u = f (x +x, y +y, z +z)–
f (x,y,z).
Если рассматриваемая функция является дифференцируемой, то согласно формуле Тейлора
(4.20.1)
Величина
(4.20.2)
называется
производной скалярного поля по
направлению вектора
.
Она характеризует скорость изменения
функции
по рассматриваемому направлению.
Для вычисления предела (4.20.2) разделим (4.20.1) на l и учтем, что в силу условия = имеем равенства
Поэтому при
l
получим формулу для вычисления производной
(4.20.3)
Вектор
(4.20.4)
называется градиентом21 скалярного поля в рассматриваемой точке М(x, y, z).
Если ввести вектор
,
то из (4.20.3) следует, что
Таким образом, производная скалярного поля по направлению равна проекции градиента на это направление:
(4.20.5)
Выясним теперь, как направлен градиент. Для этого введем так называемые поверхности уровня, т.е. поверхности, на которых значение рассматриваемой функции постоянно:
f (x, y, z) = C (4.20.6)
(вспомните знакомые из физики изотермы, изобары, эквипотенциальные поверхности и т.д.).
Ранее
отмечалось, что уравнение касательной
плоскости к поверхности z
= f (x,
y) в точке
имеет
вид
Если уравнение
поверхности задано в неявном виде
и оно определяет функцию
,
то вместо
нужно подставить
;
Тогда
или окончательно
(4.20.7)
У
равнение
касательной плоскости к поверхности
(4.20.6), очевидно, должно совпадать с
(4.20.7), так как наличие константы в правой
части (4.20.6) не изменит рассматриваемых
частных производных. Поэтому вектор
grad u
направлен по нормали к поверхности
уровня (4.20.6) (нормальный вектор к плоскости
(4.20.7) имеет вид
и совпадает с grad u (4.20.4)).
Таким образом, градиент обладает следующими свойствами (рис. 4.20.2):
1) направлен по нормали к поверхности уровня;
2) производная по любому направлению равна проекции градиента на это направление.
Вопросы
1. Какое можно предложить определение градиента, не зависящее от выбора системы координат, а связанное только с понятием скалярного поля?
2. Как показать, что направление gradu является направлением наибыстрейшего возрастания функции поля u (x, y, z)?
3. Чему равна производная по направлению для плоского поля?