4.19. Аппроксимация опытных данных по методу наименьших квадратов

Отыскание локальных экстремумов функции нескольких перемен-ных используется при выравнивании опытных данных методом наименьших квадратов (МНК).

Задача выравнивания опытных данных ставится следующим образом.

Пусть для изучения связи двух величин х и у проведено п опытов, в результате которых получено п точек:

По этим данным требуется построить в аналитической форме функцию

Е сли бы опытные данные были абсолютно точными, то кривая должна была бы пройти через все экспериментально полученные точки. Однако в практических задачах такой случай реализуется очень редко, и величины обычно имеют существенные случайные погрешности (см. рисунок). Возникает задача о способе подбора функции

По МНК эта задача решается следующим образом. Сначала определяется вид искомой функции, т.е. задается семейство функций

(4.19.1)

зависящее от параметров . Это может быть, например, линейная функция квадратный трехчлен показательная функция и т.д. Выбор выражения (4.19.1) диктуется либо теоретическими соображениями (при этом могут использоваться физические закономерности), либо характером расположения экспериментально полученных точек (здесь мы имеем дело с эвристическим принятием решения). Сейчас мы не будем заниматься проверкой правильности выбора семейства (4.19.1) (это делается с помощью методов теории вероятностей). Отметим только, что этот выбор часто бывает неоднозначным.

Далее вводятся в рассмотрение отклонения опытных данных от любой кривой семейства (4.19.1):

(4.19.2)

Отклонение всей совокупности опытных точек от теоретической кривой (4.19.1), согласно МНК, оценивается как

(4.19.3)

Тогда естественно из семейства (4.19.1) отобрать такую кривую, для которой отклонение  минимально. Так как изменить можно только за счёт вариации параметров , то, используя необходимые условия экстремума, получим

или в развернутом виде (см. (4.19.3))

(4.19.4)

Решая систему (4.19.4), можно найти стационарные точки функции (4.19.3). Обычно таких точек бывает ровно одна, она является точкой минимума и соответствует такой кривой семейства (4.19.1), для которой отклонение от совокупности опытных данных будет наименьшим.

П р и м е р

Подобрать линейную зависимость электрического сопротивления  молибдена от температуры , используя следующие опытные данные