Задание для самостоятельного решения

1. Найти производную поля в точке по направлению прямой в сторону возрастания поля.

2. Определить единичный вектор нормали к поверхности уровня поля в точке (1, 1, -1), направленный в сторону возрастания поля.

3. Вычислить угол между градиентами поля u = x² + 2y² – z² в точках (2, 3, –1), (1, –1, –2).

4. Найти семейство линий наибыстрейшего возрастания для:

а) плоского поля u = x² – y²;

б) трехмерного поля u = xyz.

4.21. Понятие о приближенных методах поиска локальных экстремумов

Задачи об отыскании локальных экстремумов числовой функции нескольких переменных y = f ( ) относятся к разряду задач на оптимизацию. При этом оптимизируемая величина называется целевой функцией.

Во многих случаях отыскание локальных экстремумов методами дифференциального исчисления затруднительно. Например, при большом числе переменных решение системы нелинейных уравнений

с последующим исследованием стационарных точек может встретить серьезные препятствия (представьте, что число n – несколько сотен). Принципиальные осложнения возникают в тех случаях, когда для исследуемой величины неизвестно аналитическое выражение, но ее значения в различных точках можно измерять.

В связи с изложенным разработан ряд приближенных методов поиска экстремума. Наиболее употребительны так называемые шаговые методы, когда приближение к точке экстремума функции производится поэтапно (т.е. «шагами»). Рассмотрим содержание простейших шаговых методов.

4.21.1. Релаксационный13 метод

Поясним идею метода на примере функции двух переменных На рис. 4.21.1 схематически показано несколько линий уровня этой функции вблизи максимума.

Алгоритм релаксационного метода (иногда называемого методом Гаусса - Зейделя) основан на движении к точке экстремума вдоль оси , затем вдоль оси , затем снова вдоль и т.д.

Так, на рис.4.21.1 показана схема, когда последовательно вычисляются (или измеряются), а затем сравниваются значения

Ясно, что дальнейшее движение вдоль оси бесполезно. Поэтому из точки следует двигаться вдоль оси :

В точке нужно снова изменить направление движения:

и т.д.

Закончить всю процедуру поиска экстремума следует по достижении области стационарности целевой функции, т.е. когда улучшение ее значений становится несущественным (при этом ).

С приближением к точке экстремума шаг постепенно уменьшают (однозначного алгоритма по выбору шага не существует). В приведенном примере мы всегда начинали двигаться в направлении возрастания функции, которое выяснялось с помощью рис.4.21.1. При решении реальной задачи первая точка после изменения направления движения является пробной: если в ней значение целевой функции меньше, чем в предыдущей, то следует двигаться в противоположном направлении.

Релаксационный метод хорош тем, что не требует вычисления производных, достаточно уметь вычислять (или измерять) значения самой целевой функции. Поэтому метод можно использовать в тех случаях, когда аналитическое выражение целевой функции неизвестно.