Глава шестая. Кратные, криволинейные и поверхностные интегралы; элементы теории поля.

1. Понятие об интеграле по замкнутой ограниченной области

В предыдущем разделе рассмотрен определённый интеграл

и его свойства. При этом предполагалось, что

Аналогичное понятие можно ввести для областей, лежащих в R², R³…, Rⁿ (рассматривая при этом функции двух, трёх и большего числа переменных).

Для наглядности рассмотрим три родственные задачи: вычислить массу неоднородного стержня, неоднородной пластины, неоднородного трехмерного тела по известной плотности

Для решения задач поступим однотипно во всех трех случаях:

1) разобьем данную фигуру G (стержень, пластину, тело) на п элементарных фигур (участков) ;

2) выберем на каждом участке произвольную точку определим в этой точке значение плотности и будем считать её постоянной на всем участке (вследствие малости диаметра участка); напомним, что ;

3) вычислим массу соответствующую участку :

где длина, площадь или объём участка ;

4) вычислим массу всех участков :

5) за массу фигуры G принимаем величину

если этот предел не зависит от способа разбиения фигуры G на участки и выбора точек на каждом из них.

285