5.9. Оценки определенного интеграла.

Рассмотрим свойства определенных интегралов, которые выражаются неравенствами и могут служить для оценки значений этих интегралов.

Теорема 1 (интегрирование неотрицательной функции):

Доказательство:

Теорема 2 (интегрирование неравенств):

Доказательство:

Теоремы 1 и 2 показывают, что неравенства можно интегрировать (a

Теорема 3 (двойная оценка определенного интеграла):

(5.9.1)

Доказательство основано на возможности интегрирования неравенств:

C

Отсюда сразу следует заключение теоремы 3. Её геометрический смысл ясен из рис. 5.4, на котором в качестве m и M выбраны наименьшее и наибольшее значения функции (на самом деле m можно брать меньше наименьшего, а M – больше наибольшего значения функции):

y

C´

y=f(x)

B

A

x

a

b

O

Рис. 5.4

Неравенства (5.9.1) дают двойную оценку определенного интеграла:снизу и сверху.

Теорема 4 (оценка модуля определенного интеграла):

(5.9.2)

Доказательство:

Неравенство (5.9.2) напоминает известное свойство модуля суммы нескольких чисел:

Если , то из (5.9.2) получаем ещё одну оценку модуля определенного интеграла:

(5.9.3)

Неравенства (5.9.1), (5.9.2), (5.9.3) используются при доказательстве различных теорем, а также для грубой оценки значения определенного интеграла.

5.10. Теорема о среднем значении.

Введём понятие о среднем значении функции Для этого разобьём отрезок на n частей одинаковой длины Далее выберем точки и введём соответствующие им значения функции Тогда в качестве среднего значения функции на естественно принять величину или т.е.

(5.10.1)

Величину называют ещё средним интегральным значением функции на .

Теорема (о среднем значении). Если С , то существует такая точка , в которой = .

Для доказательства воспользуемся двойным неравенством (5.9.1), записав его в виде

откуда в силу (5.10.1)

Если в качестве m и M выбрать наименьшее и наибольшее значение функции на , то в силу теоремы Вейерштрасса существует точка , в которой = (число расположено между m и M, а непрерывная функция “не пропускает” ни одного значения между m и M ).

Геометрический смысл теоремы о среднем значении состоит в том, что существует точка , в которой или в соответствии с обозначениями рис. 5.6

A

B

D

C

y

x

0

a

b

ξ

Рис. 5.6

5.11. Вычисление определённых интегралов с помощью подстановки.

Теорема. Если С , причём функция отображает отрезок на отрезок , то

(5.11.1)

Доказательство:

(здесь

При вычислении определённого интеграла с помощью подстановки возвращаться к прежней переменной интегрирования не нужно. Однако не следует забывать о необходимости изменения пределов интегрирования.

П р и м е р: Вычислить площадь эллипса

Очевидно, что искомая площадь

С помощью подстановки

п олучаем