5.13.2. Вычисление длины дуги плоской кривой.

Ранее было установлено, что для кривой дифференциал дуги определяется формулой:

Поэтому согласно (5.13.3) длина всей дуги равна

(5.13.6)

Если кривая задана параметрически то в (5.13.6) следует заменить переменную интегрирования:

где пределы интегрирования либо известны, либо их находят из уравнений причём

Задание для самостоятельного решения.

1. Найти длину дуги полукубической параболы лежащей внутри параболы

2. Найдите длину:

а) дуги кривой от t=0 до

б) всей кривой

в) дуги спирали Архимеда находящейся внутри окружности

5.13.3. Вычисление объёма и площади поверхности тела вращения.

Не давая строгого определения объёма, вычислим объём тела вращения, изображенного на рис.10:

(5.13.7)

y

y=f(x)

x

a

b

0

d x

Рис. 5.10

Аналогично поступаем с площадью поверхности тела вращения, полагая, что её величина равна пределу, к которому стремиться площадь поверхности тела, полученного путём вращения ломаной, вписанной в данную кривую при (рис. 5.11):

(5.13.8)

y

y=f(x)

x

a

b

0

d x

Рис. 5.11

Для кривой, заданной параметрически из (5.13.8) имеем:

5.13.4 Вычисление объёма тела с заданными площадями параллельных сечений.

S(x)

y

0

a

d x

x

b

Рис. 5.12

Пусть для некоторого тела (рис. 5.12) известны площади сечений, перпендикулярных оси ОХ. Обозначим текущее значение этой площади через S(x). Тогда, аппроксимируя тело элементарными цилиндрами с площадями оснований S(x) и высотами dx, получаем

(5.13.9)

П р и м е р: Вычислить объём эллипсоида

Для решения положим

В сечениях, перпендикулярных оси ОХ, получаются эллипсы с полуосями

Отсюда имеем

Задание для самостоятельного решения.

1. Найдите объём конуса с радиусом основания R и высотой h.

2. Найдите объём тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями:

а) вокруг оси OY;

б) вокруг оси OХ;

в) вокруг оси OХ.

3. Найдите площадь поверхности, образованной вращением кривой

а) вокруг оси OХ;

б) вокруг оси OY.

4. Найдите объём тела, основание которого – круг радиуса а , а сечение плоскостью, перпендикулярной фиксированному диаметру круга есть равнобедренный треугольник с высотой h.

5.14. Примеры физических приложений определённых интегралов.

1. Масса неоднородного стержня с линейной плотностью (рис. 5.13) вычисляется по формуле:

x

x

0

a

b

Рис. 5.13

2. Заряд, распределенный вдоль диэлектрического стержня с линейной плотностью вычисляется аналогично массе неоднородного стержня:

3. Количество тепла, сосредоточенного в неравномерно нагретом стержне, вычисляется столь же просто:

где С – удельная теплоёмкость единицы массы, S – площадь сечения стержня (S=const), γ – плотность массы материала стержня, Т – температура.

Подумайте, что изменится, если S=S(x).

4. Работа А упругого элемента (пружины) при растяжении из свободного состояния, когда конец элемента имеет абсциссу x=0, до того положения, когда его конец будет иметь абсциссу x=h (рис. 5.14) вычисляется следующим образом.

Сила F, уравновешивающая растянутый упругий элемент, равна cx: F=cx, где с –жесткость пружины (положим для простоты с=const).

F

0

h

x

Рис. 5.14

Тогда

Подумайте, каков геометрический смысл связи графиков силы F(x) и работы A(x).

5. Статические моменты и центр тяжести однородной пластины вычисляются аналогично тому, как это делается для системы материальных точек с массами и координатами (рис. 5.15):

где статические моменты относительно осей ОХ и ОY;

y

координаты центра тяжести масс;

x

0

a

x

b

d x

Рис. 5.15

С помощью рис. 5.15 эти понятия распространяются на случай однородной пластины с единичной поверхностной плотностью массы:

Задание для самостоятельного решения.

1. Какую работу необходимо затратить, чтобы тело массой m поднять с поверхности Земли, радиус которой R на высоту h? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?

2. Найдите центр тяжести фигуры, ограниченной:

а) параболами

б) кривой